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2011-03-22

マグニチュードが0.2増えるとどうなる?

先日(2011/3/11)の大地震の時、はじめは「マグニチュード8.8」と発表された後、

マグニチュード9.0」に修正されました。

その報道の際、「マグニチュードは0.2だけ増えましたが、地震エネルギーは2倍になりました」

という表現が使われていました。

どう計算すると「マグニチュード0.2の差異が(地震の)エネルギーとして2倍異なるようになるのか」

について解説してみたいと思います。

Wikipediaによれば、地震エネルギーEマグニチュードMの間には、

¥log_{10} E=4.8+1.5M

の関係が成立していると言われます。詳しくはWikipediaのマグニ チュードのページをご参照あれ。

それで、

  1. マグニチュードが8.8の時のエネルギーE_1
  2. マグニチュードが9.0の時のエネルギーE_2

とすると、上の式より

¥log_{10} E_1=4.8+1.5¥times 8.8

¥log_{10} E_2=4.8+1.5¥times 9.0

が成立します。両式を引き算すれば、

¥log_{10}E_2-¥log_{10}E_1=1.5¥times 0.2

ですね。対数の公式

¥log_a(N_1)-¥log_a(N_2)=¥log_a¥frac{N_1}{N_2}, ¥hspace{2} where ¥hspace{1} a¥neq 1, N_1,N_2>0

を思い出せば、左辺=¥log_{10}¥frac{E_2}{E_1}

よって上の式は

¥log_{10}¥frac{E_2}{E_1}=0.3

対数の定義より

¥frac{E_2}{E_1}=10^{0.3}¥simeq 1.995

つまり

E_2¥simeq 1.995¥times E_1

となります。マグニチュードが8.8から9.0になった時、地震エネルギーは1.995倍(≒2倍)となることが分かりました。

地震の「エネルギー」はジュールで測られます。「ジュール」がよくイメージできない場合は、

とりあえず、「カロリー」でもいいです。ダイエットとかでよく

1日の摂取カロリーが××○○、、、

といわれますよね。

因みに、同様な計算からマグニチュードが1.0だけ大きくなると、地震エネルギー10¥sqrt{10}だけ大きくなることが分 かります。

上記の文脈とは全く関係ありませんが、語学マニアのために付け加えると、

名詞「magnitude:壮大さ、偉大さ」は形容詞「magnificent:壮大な、堂々とした」の派生語などがあります。

フランス語でも、形容詞「magnifique:すごい」は日常会話でもよく使われる、、、と思います(確か)w

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