トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

　良い天気の一日だった。朝は団地の草刈りに参加して（自宅の庭の草刈りもしないのに．．．）、午後は少し車で走ってきてから昼寝して読書した。

量子力学の冒険

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第三話 ＜W.Heisenberg＞ 「量子力学の誕生」メモ

☆量子力学をつくる

・ｎが小さくてもスペクトルの強度「遷移の回数×光の粒１個のエネルギーｈν」を
　求められる方法をつくる

＜古典力学との対応を見る＞

・ｎが大きい時には、古典力学でスペクトル強度を求めた。

　電子の位置を表す複雑な波の式

　　　ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ、τ）ｅ^i2πν(n,τ)t

　を単振動の運動方程式

　　　ｑ''＋ｋｑ／ｍ＝０

　に入れて解き、振幅をｎの関数で表すためにボーアの量子条件の式

　　　∫ｐｄｑ＝ｎｈ　

　に入れて解くと「スペクトルの強度」が求まった。

・古典力学でｎが大きい時にはスペクトル強度が求まるので、古典力学の大枠は正しい。

　　Newtonの運動方程式　＋　Bohrの量子条件

　　ｑ''＋ｋｑ／ｍ＝０　　　　　∫ｐｄｑ＝ｎｈ　

・古典力学の考え方を量子力学では以下のように考える。

　　「光は波である」⇒「光はｈνというエネルギーを持った粒である」

　古典力学：
　　「ｎという軌道を回っている時にでる光のτ回うねりの単純な波の振動数ν（ｎ、τ）」

　　↓

　量子力学：
　　「ｎからｎ−τへ遷移したときに出る光の振動数ν（ｎ；ｎ−τ）」

　　古典力学「ν（ｎ、τ）」　⇒　量子力学「ν（ｎ；ｎ−τ）」

・光の振幅について考える。

・Einstein の発見により、スペクトル強度は「遷移の回数×光の粒１個のエネルギーｈν」

　古典力学：スペクトル強度＝光の波の「振幅Ｑ（ｎ、τ）の２乗」

　　↓

　量子力学：スペクトル強度＝√（遷移の回数×ｈν）＝Ｑ（ｎ、ｎ−τ）

　　古典力学「Ｑ（ｎ、τ）」　⇒　量子力学「Ｑ（ｎ；ｎ−τ）」

・古典力学ではτ回うねりの単純な光の波（フーリエ成分）を

　　　Ｑ（ｎ、τ）ｅ^i2πν(n,τ)t

　と表したので、量子力学では、

　　　Ｑ（ｎ：ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t

　となり、これを遷移成分と呼ぶ。

・古典力学では、複雑な波は単純な波のたし合わせで表せるので、

　　　ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ、τ）ｅ^i2πν(n,τ)t

　となり、量子力学では次式となる。

　　　ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ：ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t

・古典力学の場合、複雑な光の波ｑは、電子の「位置」の時間変化を表す。
　（電子は回りながら光を出す）

・量子は軌道から軌道へ遷移する時に光を出すため、その電子がどのような道筋を通ったか
　わからず、遷移成分のたし合わせの量子のｑは「電子の位置を表さない」。

・量子の場合、ｑは位置を表さないので、１階微分、２階微分も古典力学と同様の扱いは
　できない。

・ｎが大きい場合についてもｑは「位置」を表していなかったがＦ＝ｍｑ’’で正しい解が
　得られたので、ｎが小さい場合もＦ＝ｍｑ’’へ代入して計算する。

＜量子力学で単振動を解く＞

・古典力学の時と同様、単振動の運動方程式

　　　ｑ''＋ｋｑ／ｍ＝０

　にｑを代入して解く。

　　　ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ：ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t

・次式が成り立つ場合を考える。

　　　Σ[τ]４π^2（ν^2ーν（ｎ：ｎ−τ）^2）Ｑ（ｎ：ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t＝０

・「ν^2ーν（ｎ：ｎ−τ）^2」か「Ｑ（ｎ：ｎ−τ）」のどちらかが０。

・τが１の時「ν^2ーν（ｎ：ｎ−τ）^2」が０になると決める。

　　　ν^2ーν（ｎ：ｎ−１）^2＝０

　　上式より、

　　　ν（ｎ；ｎ−１）＝ν

　となり、その時の振幅Ｑ（ｎ：ｎ−１）は０ではない値を持つ。

　また、τ＝２、３、４、・・・の場合「ν^2ーν（ｎ：ｎ−τ）^2」は０ではないので、
　その時Ｑ（ｎ：ｎ−τ）は０になる。

・「−ν（ｎ；ｎ−１）＝−ν」の場合を調べる。

・量子力学の場合、振動数は整数倍ではないため、古典力学の場合とは異なる。

・Rydbergの式から考える。

　　　　ν＝Ｒｃ／ｍ^2−Ｒｃ／ｎ^2

　「ｎという軌道からｍという起動へ遷移した時の振動数」なので、「ｎからｎ−τへ遷移
　した時の振動数ν（ｎ；ｎ−τ）は、

　　　ν（ｎ：ｎ−τ）＝Ｒｃ／（ｎ−τ）^2−Ｒｃ／ｎ^2

　となる。

・この式で−ν（ｎ；ｎ−τ）がどうなるか考える。

　　　−ν（ｎ；ｎ−τ）＝−（Ｒｃ／（ｎ−τ）^2−Ｒｃ／ｎ^2）

　　　　　　　　　　　　＝Ｒｃ／ｎ^2−Ｒｃ／（ｎ−τ）^2

・Rydbergの式と比較すると、上式はν（ｎ−τ；ｎ）、「ｎ−τからｎに遷移した時の
　振動数」となる。

　⇒量子力学の場合、単振動にマイナスがつくと「逆遷移」になる。

・以上より−ν（ｎ；ｎ−１）は、

　　　−ν（ｎ；ｎ−１）＝　ν（ｎ−１；ｎ）

　となる。

・単振動の場合、

　　　「ｎからｎ−１の振幅Ｑ（ｎ：ｎ−１）」
　　　「ｎ−１からｎの振幅Ｑ（ｎ−１：ｎ）」

　のみ値をもち、あとの振幅は全て０でなければならない。

・そして、

　　　「ｎからｎ−１の振動数ν（ｎ：ｎ−１）はν」
　　　「ｎ−１からｎの振動数ν（ｎ−１：ｎ）は−ν」

　となる。

・単振動の振動数　ν（ｎ；ｎ−１）＝νはｎに関係なく１コ内側の軌道に遷移した時には
　すべてνとなり、ν（ｎ−１；ｎ）＝−νも１外側の軌道に遷移した時にはｎに関係なく
　すべてーνとなる。

　　⇒「ｎ−１；ｎ」は「ｎ；ｎ＋１」と書いても同じ

＜まとめ＞

　　　Ｑ（ｎ；ｎ−１）≠０
　　　Ｑ（ｎ；ｎ＋１）≠０
　　　Ｑ（ｎ；ｎ−τ）＝０　（τ≠±１）
　　　ν（ｎ；ｎ−１）＝ν
　　　ν（ｎ；ｎ＋１）＝ーν

・Bohrの量子条件の式∫ｐｄｑ＝ｎｈを使って量子力学の振幅Ｑ（ｎ；ｎ−τ）をｎの関数で
　表す

・古典力学の場合と同様の計算を行い

　　　｜Ｑ（ｎ；ｎ−１）｜^2＝ｎｈ／（８π^2 ｍν ）

　となる。

・単振動の場合には問題が単純なので、古典力学で求めた単振動の振幅と量子力学で
　求めた単振動の振幅が似たものとなる。