モナドの作用乗法（action multiplication）

うーーーん、なんでこんな事に気が付かなかったんだぁー！！ 灯台もと暗し、コロンブスの卵だ。これがmissing pieceだったんだ。独断で目が曇っていた。

1つ前のエントリーと似た記号を使っているが、独立（別物）である。

(L, μ, η)をC上のモナドとする。もうひとつのモナド(M, μ', η')を考える。MLは、M(L(-))で定義される関手だとして、τ:ML⇒Lとρ:M⇒Lという自然変換があり、次の結合律、単位律が成立すると仮定する。

 MLL -[τL]→ LL -[μ]→ L

 ========================== 結合律

 MLL -[Mμ]→ ML -[τ]→ L

 IL -[ηL]→ML -[τ]→L

 ====================== 単位律1

 IL →L
 MI -[Mη]→ML -[τ]→L

 ====================== 単位律2

 MI → M -[ρ]→ L

それでKleisli圏C_MとC_Lを作ると、C_MがC_Lに作用する。（これに気付いた。）

作用をもっと詳しく記述すると； u:A→M(B), g:B→L(C)をC_M, C_Lの射だとする（正確には、Cで考えたKleisli射＝M-resultic射）。uとgの“結合”u*gを次のように定義する。

• u*g = u;M(g);τ_C

C_Lの結合＝Kleisli結合を#として、次が成立する（と思う）。

• (u*g)#f = u*(f#g)
• (u#v)*f = u*(v*f)
• B^#g = g （B^はKleisli恒等）

さらに、u:A→B は、*作用を通じてC_L＼B→C_L＼Cというスライス圏の反変関手を定義する。これからC_Mをベースとするindexed categoryも定義できる。

この事実は、メタ項やスキーマの意味論に使える。また、γ:L→Mで、γ;τが恒等であるとき、LはMに埋め込めるので、MはLの拡張としての解釈を許す。

圏Xが圏Cに作用している状況を一般的に考えるのも興味あるかもしれない。