双積と加法の関係 -- まだわかってない
加法から双積は出るのか？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の話。
復習； 双積に関して重要なのは、それが直積かつ直和であるだけでなく、次が成立することだろう。
- ιiA,B;πjA,B = δi,jA,B
δは次のように定義する：
- δ1,1A,B = 1A
- δ1,2A,B = 0A,B
- δ2,1A,B = 0B,A
- δ2,2A,B = 1B
これは直交性条件といってもいい。
f:A→P, g:B→Qとして；
- <π1;f, π2;g> = [f;ι1, g;ι2] : A※B→P※Q
を示す際にも直交性が重要だ。
双積があれば、そこから対角ΔA = <1A, 1A>, 余対角∇A = [1A, 1A]が定義できる。加法は、f, g:A→Bに対して、
- <1A, 1A>;<π1A,A;f, π2A,A;g>;[1A, 1A]
または、
- <1A, 1A>;[f;ι1B,B, g;ι2B,B];[1A, 1A]
として定義できる。ここまでの議論は等式的計算だけ。
それに対して、近加法的圏から出発すると、米田埋め込みを使うしか方法がないように思える。Cが近加法圏なら、その米田埋め込み像C^が、可換モノイドの前層の圏だと思ってよい。つまり、「C（かCop）から集合論的可換モノイドの圏AbMonへの関手の圏」のなかにCの良い表現（実現）を作れる。
可換モノイドの前層（or 余前層）の圏[Cop, AbMon]の部分圏において、加法と双積がどのくらい堅く結びついているか？ どのくらい相互規定しているのか？ を調べればいいってことかな？
