檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 このページをアンテナに追加 RSSフィード

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2010-06-15(火)

フーム、驚いた、もろに離散物理

| 11:47

最近、Catyでの必要性から、明瞭正規表現と明瞭オートマトンつう概念を考えて、その同値性とか包含関係とかを考えていたが、離散物理とかDFD(Discrete Field Dynamics)とかに関係する、つうか、離散物理そのものだということが分かって驚いている。

言語の包含関係(正規表現型のサブタイプ関係)を示すために、決定性オートマトンの包含関係を調べるのだが、このとき2つのオートマトンのあいだに模倣対応関係(ラベル付きグラフの圏の射)を構成する。2つのオートマトン上で同時にダイクストラ法を実行する。ダイクストラ法で区別が付かないなら、同値なオートマトンである。

オートマトン(のグラフ)上でダイクストラ法を実行することは、実はスタートノードを波源とする波を発生させることで、波頭集合とすべてのパスを追跡することになる。波頭集合のあいだに対応を付けることを繰り返すと、グラフ全体の対応が作れる。波頭集合の局所的対応がどこかで失敗するなら、目的の対応は作れない。

現状で分かったことは、明瞭オートマトンX、Yに対して、Lang(X)⊆Lang(Y) ならば、X→Yという模倣対応(ラベル付きグラフの圏のモノ射)を構成出来ること。(逆は自明。)

ダイクストラ法で使う波頭集合の運動をダイクストラ波(波動)とでも呼ぶと、ダイクストラ波の進行に伴うすべての“音”(時間的に並んだ記号列)を聴くと、音だけから「形状+力学」の「ある種の同値類」の判定が可能となる。2つのオートマトン(グラフ上の場の力学系)の音データがまったく同じなら、図形的な対応を音のデータ(言語)をもとに構成できる。

実は、マスロフ脱量子化の話が絡んでいたりするんだよなー。マスロフ代数(正確には代数族)はプランク定数でパラメータ付けされた可換半環の族。最大値(または最小値)からの寄与だけが効いてくる世界では、測地線だけが生き残り、ダイクストラ波動は、測地線だけを残しながら進行する。波頭集合は絞り込まれて粒子系に見える(Winner takes All)、掃過域は軌跡に見える。

グラフの重み付き隣接行列って、ベクトルバンドルのセクションに対応する。必ずじも接バンドルである必要はない。底空間を零セクション(グラフなら長さ0のパス)で埋め込むと、全空間のなかで、底空間の無限小運動を定義する。接バンドルなら無限小変形。特異点を許した無限小変形を積み重ねると、コボルディズムを構成できる。離散状況では、ベクトルバンドルも球体(円板)バンドルも区別がない。接球体に対応するのがステップ1で移行できる隣接ノードから作られる星状部分グラフ。表面である球面と放射半径の束として実現される。

すごく不正確な言い方だが、キャッチフレーズとしては「音像から形状を判定する」か。