デカルト微分圏の定義

定義を探すことが多いので、まとめておくのがよいな。

クラットウェル（https://arxiv.org/pdf/1208.4070.pdf）の一般化デカルト微分圏。射の結合は、図式順で併置。射影はπ₀とπ₁。

A generalized Cartesian differential category consists of a Cartesian category X with:

• for each object X, a commutative monoid L(X), satisfying
  • L(L(X)) = L(X) and
  • L(X × Y) = L(X) × L(Y),
• for each map f : X→Y , a map D[f] : L(X)×X →L(Y) such that:

1. [CD.1] D[+_X] = π₀ (+_X), D[0_X] = π₀ 0_X,
2. [CD.2] 〈a + b, c〉D[f] = 〈a, b〉D[f] + 〈b, c〉D[f] and 〈0, a〉D[f] = 0;
3. [CD.3] D[π₀] = π₀ π₀, and D[π₁] = π₀ π₁;
4. [CD.4] D[〈f, g〉] = 〈D[f], D[g]〉;
5. [CD.5] D[fg] = 〈D[f], π₁ f〉D[g];
6. [CD.6] 〈〈a, 0〉,〈c, d〉〉D[D[f]] = 〈a, d〉D[f];
7. [CD.7] 〈〈0, b〉,〈c, d〉〉D[D[f]] = 〈〈0, c〉,〈b, d〉〉D[D[f]];

次のように分類できる。

• 特別な射の微分公式
• 結合とペアの微分法則。
• 二階微分の法則

特別な射は：

• CD.1 の +_X（足し算）、0_X（ゼロ）。CD.3の第零射影と第一射影。

定数射の微分も必要だろう。足し算と射影と対角は、線形射の微分としてまとめることができる。線形射を微分すると、その係数射を取り出した定数射になる。定数射は微分してゼロだから、線形射の二階微分はゼロ。ゼロ射は線形射だが、定数射の特別なもの。

CD.2は、状況設定で吸収すべきものだろう。

CD.4, 5が結合とペアの微分法則。結合と直積の微分のほうがスッキリすると思う。

CD.6が偏微分の法則だが。二階微分を出さなくても、微分した結果の射は偏線形射であることを言えば済むと思う。微分である偏線形射をまた微分すると、その係数が出てくる。

一番説明しにくいのは最後の公理で、偏微分の順序交換可能性（ヤングの定理）。DD[f]が二階（二回）接空間（接多様体）上で定義されて、二階接空間はフリップ構造を持つ。二階微分は、そのフリップ構造に対して不変であることになる。