「構文付き変換手インスティチューション 1/n」で言い残していることはあるのですが、いったんそれは棚上げにして構文付き変換手インスティチューションの実例を挙げます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \new…

随伴系、モナド、モナドのアイレンベルク／ムーア代数、自己関手のランベック代数、ベックの分配法則などを扱っていると、こういうモノ達を系統的に組織化したい、という気持ちになります。代数的構造の組織化のためには、ゴグエン／バーストル〈Joseph Gogu…

とあるテキスト（書籍）の代数（分野）に関する記述で、幾つかの種類の可換環が登場するのですが、分類の基準がよく分からない。なので、ちょっと伺ってみたり調べたりしてみました。分類された各クラスに所属する／所属しない可換環の実例や、クラスの相互…

1-圏（通常の圏）のなかでスパンを考えた場合、スパンのあいだの射の定義は簡単です。2-圏のなかだと、スパンの射の定義も難しくなります。「環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n // 2-圏内のスパンのあいだの射」で述べたように、1-圏と2-圏では事情が違っ…

「環境付き計算と依存アクテゴリー 2/n」の続きです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} %\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} %\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow } \newcommand{…

「環境付き計算と依存アクテゴリー 1/n」の続きです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} %\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}} %\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow } \newcommand{…

カプチ／マイヤース〈Matteo Capucci, David Jaz Myers〉の依存アクテゴリーは、アクテゴリーと二重圏の中間にある、ほど良い感じの概念的フレームワークです（「依存アクテゴリーが面白い」参照）。まだ定義さえハッキリしない状態ですが、僕は期待してます…

最近、二重圏に興味を持っています（「二重圏、縦横をもう一度」参照）。モナドや随伴には昔から興味を持っています。すべての随伴系〈adjunction〉達を二重圏、あるいは2-二重圏に組織化することを考えたことがあります。 随伴系の二重圏 (2019年) 2-二重圏…

「依存アクテゴリーに向けて」において： 当然に、アクテゴリーは依存アクテゴリーの事例となります。その他に良い事例はないでしょうか？ 「最近の型理論： 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏」で概要を述べた包括圏〈comprehension category〉が、依…

「依存アクテゴリーが面白い」という記事を書きました。実際僕は「面白い」と思っています。プロセスやシステムの記述と計算に使えそうだ、というところが心惹かれる理由でしょうかね。依存アクテゴリーはけっこう複雑な構造なので、定義を書き下すだけでも…

とあるキッカケがあって、マッテーオ・カプチとディビッド・ジャズ・マイヤースの講演アブストラクトを眺めてみました。 [CM23] Title: Constructing triple categories of cybernetic processes Authors: Matteo Capucci, David Jaz Myers Date: 2023/11/11…

この記事は、他の記事で述べていなかった（抜け落ちていた）事項を説明します。他の記事（過去記事も含む）から参照することを目的にしています。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }…

ファイバーの計算（「ファイバーの計算 基本概念」参照）において、バンドル-ファミリー対応は基本となる事実です。これは、スライス圏〈オーバー圏 | バンドルの圏〉とファミリーの圏が圏同値となることです。バンドル-ファミリー対応を短く書けば $`\mathc…

ファイバーの計算に関する一連の記事（「ファイバーの計算 基本概念」参照）を書いているのですが、この記事は他の記事を参照しなくても（なるべく）独立に読めるようにします。ファイバーの計算は、関数のファイバー〈逆像〉に関する具体的な計算と、それを…

「木と林（有向グラフ）」より： 頂点〈ノード〉の高さと林／ツリーの高さは、関連してますが別な概念なので混同しないようにしましょう。 別な概念は別な名前を付けたほうがいいですね。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\cat}[1]{\mathca…

「木と林（有向グラフ）」で、有向グラフの特別なものである木〈ツリー〉と林について述べました。（主に“ファイバーの計算”への）応用のためには、まだ必要なことが残っているので、そのまま続きと補足を書きます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \…

“ファイバーの計算”（「ファイバーの計算 基本概念」参照）に関する一連の記事のひとつとして、木と林の話を書き始めたのですが、独立した話題として扱えるので、シリーズ記事からは外れた記事にします。木と林は有向グラフの種類のことで、現実世界の植物の…

“ファイバーの計算”に必要な幾つかの圏同値を示します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\F}[1]{ {{#1}^{-1}} } % fiber \newcommand{…

「ファイバーの計算 基本概念」で、バンドル-ファミリー対応を実現するファイバー関手などの基本概念を紹介しました。もちろん、“ファイバーの計算”には続きがあります。基本概念に引き続く内容に入る前に、“ファイバーの計算”の全体像を概観しておきます。…

バタニン／マークル〈Michael Batanin, Martin Markl〉のオペラディック圏は、オペラッドを定義するための道具ですが、“ファイバーの計算”を抽象化したものだともみなせます。この記事では、抽象化する前の具象的な“ファイバーの計算”、つまり集合圏の部分圏…

圏 $`\mathcal{C}`$ とその対象 $`c`$ に対して、スライス圏〈オーバー圏〉$`\mathcal{C}/c`$ を定義できます。このとき使われるスラッシュは、二項演算子記号のように見えます。そうだとすると、スラッシュの実体（セマンティクス）である演算とはどのよう…

久々に論理の話をします。論理とはいっても、形式化された論理〈formal logic〉の話ではなくて、“ちゃんと考えるための技法”といった意味の論理です。「命題と判断は区別しましょう」が僕がこの記事で言いたいことです。$`\newcommand{\Holds}{ \mathrel{|\!…

n-圏達を対象とする(n + 1)-圏を $`n{\bf Cat}`$ と書きます。特に、$`{\bf Cat} = 1{\bf Cat}`$ です。$`{\bf Cat}`$ は、1-圏達を対象とする(1 + 1)-圏です。また、$`{\bf Set} = 0{\bf Cat}`$ です。$`{\bf Set}`$ は、0-圏達を対象とする(0 + 1)-圏です…

「双遷移系達の3次元の圏」で述べた3次元の圏類似代数系のプロ射（プロ方向の1-射）は双遷移系です。プロ射のプロ方向への結合は、双遷移系のテンソル積で与えられます。この記事で、双遷移系のテンソル積を定義します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1}…

「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」において、とある3次元の圏が存在しそうだ、と述べました。しかし、その3次元の圏の構成はかなり手間がかかる作業です。設定を単純化して、手間を減らしましょう。「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」で「モ…

「ヒューズ・アローと丹原プロ関手」では早とちりをやらかしてしまいました。丹原プロ関手を2-射〈二重射〉とする二重圏の（特別な形の）モノイドがヒューズ・アローになるかと思ったんですが、それは違うようです（追記の節「追記： 誤認と間違い」参照）。…

最近のマイブームは二重圏です（「二重圏、縦横をもう一度」参照）。既存の概念を二重圏ベースで再考してみるとちょっと楽しいです。アローは、ジョン・ヒューズ〈John Hughes〉が考案した関数プログラミングの道具・手法です。ヒューズのアローを二重圏ベー…

二重圏に関する用語は、「二重圏、縦横をもう一度」を見てください。2-圏の図式順演算子記号は次のようにします。 1-射の結合と2-射の横結合 ： $`*`$（アスタリスク） 2-射の縦結合 ： $`;`$（セミコロン） 1-射と2-射のヒゲ結合〈whiskering〉： $`*`$（ア…

「関手は自然変換」という記事で、関手の射パートが自然変換になることを指摘しました。この記事では、自然変換が関手として解釈可能なことを説明します。自然変換が関手であることを、アロー構成〈Arr構成〉に関する“とある公式”の特別なケースと位置付けま…

「圏論におけるフレーム充填問題」で、二重圏や2-圏におけるフレーム充填問題の事例を挙げました。1-圏、つまり通常の圏でもフレーム充填問題とその解を考えることができます。通常の圏における重要な概念も、フレーム充填問題の“最良の解”として定義できま…