[ v = v0 + at , x = v0t + 1/2 at^2 ] - 過去問で遊ぶ物理 ― の、あとしまつ

$v=v_0 + at$
$x=v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

物体が加速度運動するときの速度と位置の変化を表す公式で、高校物理のかなり最初に覚えるはずですよね。

これ、参考書とかパラパラ見ているとグラフを描いて幾何的に面積を求めて導出しているんですが、積分を使えばあっさり導出できます。ということで、それをやってみます。

まず、速度は加速度の積分（加速度は速度の微分）となっています。
$v=\int a dt$
高校物理では加速度は一定なので、
$v=at + C$ 　( $C$ は積分定数)　…(＊)
初速度( $t=0$ の時の速度)を $v_0$ と置くと、
$v_0=a\cdot 0 + C$
$C=v_0$
これを(＊)に戻して並べ替えると、
$v=v_0+at$
ということで速度の公式が求まります。

引き続き、位置は速度の積分（速度は位置の微分）となっています。
$x=\int (v_0+at) dt$
$x=v_0 t + \frac{1}{2} at^2 + C'$
本来ならここで初期条件から $C' = x_0$ のようにしておけば、より一般的に使える公式になるわけですが、公式としては $C' = 0$ として
$x=v_0 t + \frac{1}{2} at^2$
この形で覚えることになっているようです。