2006-09-30 第三話：金利と理論（Expectation Theory）
今日は、金利の次の性質を説明した理論を勉強しましょう。
性質：
�＾磴辰神�熟期（Maturity＝債券償却までの時間）をもった債券は同じ動きをする。
��短期金利が低い時、イールドカーブはアップワードの孤を描く（Upward sloping）。
逆に短期金利が高いとき、イールドカーブはダウンワードの孤を描く。
��イールドカーブは基本的にUpwardのスロープである。
では、この３つを説明していきます。
Expectations Theory（期待理論？）：
例えば、短期金利の後５年間の平均が１０％となる場合、５年の成熟期（Maturity）をもった債権の金利は１０％であるという考え方です。
この仮定に大切な根拠が、債券購入者は、YTMが異なる債権をもちたくない。
ちょっと伝わりにくいので、例をあげます。
１、一年ものの債券を買い、一年たったらまた一年ものの債券を購入する。
２、二年ものの債券を購入する。
この場合、一年ものの債券二つのリターンは二年物の債券一つと同じリターンじゃないと債権者はリターンのいいほうしか購入しないということです。
これをIn generalに書くと、
i(t) = 一年ものの今日（time t)の金利
i^e(t+1) = 一年後のまた他の一年ものの金利（来年(t+1)の一年ものの債券金利です）
i(2t) = 二年ものの今日の金利
（注）1159593433* eは累積金利を考慮したものですので、気にしなくていいです。
投資額１円のとき、二年後のリターンは(二年物の債券を考えます）、
{1+i(2t)}{1+i(2t)}-1 = 1+2i(2t)+(i(2t))^2-1 = 2i(2t)+(i(2t)^2
（注）(i(2t))^2はとても小さいので無視することができる。
よって、= 2i(2t)
他の方法（一年ものの債券二つ）
(1+i(t))(1+i^e(t+1))-1 = i(t)+i^e(t+1)+i(t)(i^e(t+1))
（注）i(t)(i^e(t+1))はとても小さいので、無視する。
この二つの式から、
2i(2t) = i(t)+i^e(t+1)
i(2t) = (i(t) + i^e(t+1))/2
2006-06-23 第二話：金利とローンと債券
まず、YTM(Yield to Maturity)という経済学でいう金利の考え方を知っておきましょう。YTMは、将来の価値FV(Future Value)を金利(YTM)という貸し出しコストで割り引いたとき、現在価値PV(Present Value)と同じになるように設定された金利のことです。簡単にSimple Loanの例を挙げて説明すると、
Ａ君がＢさんに１００円を１年間１０％の金利で貸すとき、Ａ君が一年後に受け取るお金は１１０円です（１００ｘ１．１＝１１０）。これを視点を変えて説明すると、Ａ君が１００円をＢさんに貸したとき、一年後に受け取るお金が１１０円となる金利は１０％です。これを式で表すと、１１０ｘ（１÷（１＋ＹＴＭ））＝１００となり、これをＹＴＭについて解くと、ＹＴＭ＝１０％になります。Simple Loanの場合は、金利の支払いが元本支払と同時に起こるので、金利とＹＴＭは同じになります。
では、もうちょっと複雑なのを見ていきましょう。今度はFixed-Payment Loanの例です。この場合注意が必要なのが累積金利です。これは金利にも金利がかけられるということです。Fixed-Payment Loanの例の前に簡単な累積金利の例を見てみましょう。
銀行にお金を１００円を２年間預けます。銀行の預金金利は年利５％の累積金利とします。
一年目：１００円ｘ１．０５＝１０５円
二年目：１０５円ｘ１．０５＝１１０．２５円
＊Simple Loanの場合では１００ｘ（５％ｘ２）＝１１０円に比べ、累積金利の場合は１１０・２５と単純金利よりも多くなります。これは金利にも金利がかかっているからです。
上の一年目と二年目を一つの式にまとめるために二年目に一年目の式を代入します。
（１００円ｘ１．０５）ｘ１．０５＝１１０．２５
１００ｘ１．０５^２＝１１０．２５
１００ｘ（１＋５％）^２＝１１０．２５
これを一般的な式に置き換えると、
PVｘ(１＋YTM)^t tはTime to Maturityです。
２年ならば、tは２になります。
では、実際にFixed Payment Loan（金利と元本の合計を１０年ローンなら１０回に単純に分けて支払うローン）について考えて見ましょう。
銀行から１０００万円を借りました。あなたは１２６万円を今後２５年間支払い続けなければいけません。そのときのＹＴＭは何でしょうか？
先ほど、FV=PVx(1+YTM)^tと書きました。これに単純に当てはめていけばこれは求められますが、もっと分かりやすいように、ＰＶについてこの式を解きます。PV=FV/(1+YTM)^tとなりましたね。結局のところ、ＰＶは、将来発生するキャッシュフローを現在に割り引いたものの総和なんです。この問題の場合、将来のキャッシュフローが２５回発生します。ですので、次のような式を立てることができます。
１０００万円＝１２６万/（１＋ＹＴＭ）^1＋１２６万/（１＋ＹＴＭ）^２＋１２６万/（１＋ＹＴＭ）^３＋・・・＋１２６万/（１＋ＹＴＭ）^２５となります。
これをＹＴＭについて解くと、１１．８３％とかになります。これは普通に解くのは難しいので、エクセルのＩＲＲとかファイナンシャルカルキュレーターなんかを使います。
では、クーポンボンドについて考えます。毎年、または半年ごとに利払いがある債券で、満期に額面が払われるものを指します。これも結局は現在価値に割り引くだけで、最後の年に元本も足さないといけないというだけです。基本的には固定支払いローン？？（Fixed Payment Loan)となんら変わりません。ただ、クーポン率はその債券のＹＴＭとは異なります。クーポン率一定で、額面にクーポン率をかけたものが毎年払われるのに対し、ＹＴＭは債券の購入価格にあわせて変わっていきます。あまり分かりづらいと思うので、例を見ていきましょう。
額面１０００円、年間クーポン率１０％、満期１０年の債券を１０００円で買ったとします。
ＰＶ＝将来のキャッシュフローの現在価値（最後に１０００円を受け取ることを忘れずに！）
１０００＝（１０００ｘ１０％）/（１＋ＹＴＭ）^１＋（１０００ｘ１０％）/（１＋ＹＴＭ）^２＋・・・＋｛（１０００ｘ１０％）＋１０００）｝/（１＋ＹＴＭ）^２５となります。
これをＹＴＭについて解くと１０％になります。
しかし、もしこの債券が今１２００円だったらどうなるでしょう？この購入価格は今後述べていこうと思っていますが、需給関係や現在のＦＦ金利などによって変わってきます。
計算方法は一緒ですが、ＰＶが１２００になりますね。その場合得られるＹＴＭはなんと７．１３％になってしまいます。逆にＰＶが１０００円より下の９００円だったらどうなるでしょうか？予想がつきますね。はい、逆に１０％よりも高い１１．７５になります。１２００円の場合の式をみると、単純に左辺が多きくなったのだから右辺も大きくならなくてはいけない。そのためには分母は小さくならなくてはいけない。よってＹＴＭは下がる。これでも考え方はいいのですが、もっと定性的に言うと、１０００円だった債券が今では１２００円で売ることができます。でも、この債券は毎年１００円が払われ、最後の年に１００円プラス額面の１０００円が払われるという何も変わっていない債券なんです。株で言ったら、会社の価値は変わっていないのに、需給関係で株価は一時的に上がってしまったが、数日後には本来の会社の価値に見合った株価に戻るという感じで捉えてもらって結構です。つまり、１２００円で購入した人は、１０００円でしかない債券をいま１２００円で売ることができてしまうんです。これじゃあ、債券の価値が正確じゃないってんで、ＹＴＭが下がるんです。
もう感のいい人は気づいてしまうかもしれませんが、満期に近づくにつれて債券価格は１０００円に近づき、ＹＴＭは１０％に近づきます。ですから、今ＦＶよりも高い債券は価格がいつか下がっていくし、逆に低い債権は価格がいつか上がっていきます。ＹＴＭは価格と逆の動きをしていきます。
＊ＹＴＭは債券価格と反比例の関係にある。
ふ〜疲れた。なかなか更新しませんが、次回もお楽しみに。
2006-05-24 第一話：金利で何がわかる？
経済は複雑な構造をしていますが、アメリカの中央銀行では金利の上げ下げを国債の売買によって実行し経済を安定化させようとしています。他にリザーブレートやディスカウントレートなどもありますが、両方ともほぼ使われていないに等しいです。経済のほとんどは金利によって説明できてしまうんです。だからＦＲＢも金利の調節を最大の武器としているんですね（実は、カナダや欧州では金利による操作はもう行われていなかったりします）。こういったことも含めて、これから「金利と（？）」という組み合わせで色々経済の仕組みを見ていきたいと思います。最終的な目標は、金利の動きで債券、株、為替、会社の財務、国益、住宅や金などのリアルアセットなどがどう影響を受けるかが分かるようになることです。
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これからも楽しみにしていま〜す