2010-09-13

力学 #2

自然科学

ラグランジュ方程式からニュートンの運動方程式を導出(もどき)する。

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0$

デカルト座標をとる。

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{r}}} - \frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}} = 0$

L=T-Uを代入する。

$\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{\mathbf{r}}} - \frac{\partial (T-U)}{\partial\mathbf{r}} = 0$

T=(1/2)mv^2とする。また、Uはdr/dtに依存しないとする。

$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{\mathbf{r}}}\left(\frac{1}{2}m(\dot{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}})\right) + \frac{\partial U}{\partial\mathbf{r}} = 0$

F=-dU/drと定義する。

$\frac{d}{dt}(m\dot{\mathbf{r}}) - \mathbf{F} = 0$

結果、運動方程式を得る。

$m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}$

次回は、ラグランジュ方程式からハミルトンの正準方程式を導出する。次々回はラグランジュ方程式からハミルトン・ヤコビ方程式を導出する。で、最後に、単振動などの単純な例で、各方程式から軌跡を求めてみることにする。その後は、保存量をラグランジアンの対称性から導く。

2010-09-13

電磁気学

自然科学

まずはベクトルの言葉で支配方程式を書く。
真空中のMaxwell方程式は、

$\nabla\cdot\mathbf{B} = \mathbf{0}$
$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
$\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{j} + \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right)$