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のき屋

2011-10-12

アルファ関数、ベータ関数、ガンマ関数・・・

ガンマ関数といえば式が簡単なのに覚えにくいことで自分のなかでは有名ですが、わりとよく出てくることでも自分の中で有名です。こういうの非常に困ります。

そこで備忘録的なこのブログに書いてしまおうと思いましたが、ベータ関数とかゼータ関数とかも思い出してしまったのでいろいろ書きます。

一覧*1

アルファ関数

¥alpha_n(z) = ¥int_1^¥infty t^n e^{-zt} dt

ベータ関数

B(p,q) = ¥frac{¥Gamma(p)¥Gamma(q)}{¥Gamma(p+q)}

ガンマ関数

¥Gamma(z) = ¥int_0^¥infty t^{z-1} e^{-t} dt ¥qquad (¥mathrm{Re} z > 0)

デルタ関数

連続関数f(x)について、¥int_{-¥infty}^¥infty f(x) ¥delta(x-x’) dx = f(x’)

ゼータ関数

¥zeta(s) = ¥sum_{n=1}^¥infty ¥frac{1}{n^s}

イータ関数

¥eta(¥tau) = ¥bar{q}^{1/24}¥prod_{n=1}^¥infty (1-¥bar{q}^n) ¥qquad (¥bar{q} = e^{2¥pi i ¥tau}, ¥mathrm{Im} z > 0)

¥eta(s) = ¥sum_{n=1}^¥infty ¥frac{(-1)^{n-1}}{n^s}

シータ関数*2

¥theta_1(z,q) = ¥sum_{n=-¥infty}^¥infty (-1)^{n-1/2} q^{(n+1/2)^2} e^{(2n+1)iz}

¥theta_2(z,q) = ¥sum_{n=-¥infty}^¥infty q^{(n+1/2)^2} e^{(2n+1)iz}

¥theta_3(z,q) = ¥sum_{n=-¥infty}^¥infty q^{n^2} e^{2niz}

¥theta_4(z,q) = ¥sum_{n=-¥infty}^¥infty (-1)^{n} q^{n^2} e^{2niz}

ラムダ関数

¥Lambda_¥nu(z) = ¥Gamma(¥nu +1)¥frac{J_¥nu(z)}{(z/2)^¥nu} ¥qquad (J_¥nu(z)は第一種ベッセル関数)

¥lambda(x,y) = ¥int_0^y ¥frac{¥Gamma(t+1)}{x^t} dt

ミュー関数

¥mu(x,¥beta) = ¥int_0^¥infty ¥frac{x^t t^¥beta}{¥Gamma(¥beta +1)¥Gamma(t+1)} dt

¥mu(x,¥beta,¥alpha) = ¥int_0^¥infty ¥frac{x^{¥alpha +t}t^¥beta}{¥Gamma(¥beta +1)¥Gamma(¥alpha +t+1)} dt

ニュー関数

¥nu(x) = ¥mu(x,0)

¥nu(x,¥alpha) = ¥mu(x,0,¥alpha)

パイ関数

¥pi(n) = (n以下の素数の個数)

ファイ関数

¥phi(n) = (nと互いに素なn以下の自然数の個数)

プサイ関数

¥Psi(x) = ¥frac{d}{dx}¥ln ¥Gamma(x)

参考文献

Wolfram MathWorld こんな素晴らしいサイトがありますので、一日中読んでいてください。

*1:もちろん全部ではありません。

*2:これはヤコビのシータ関数で、ほかにもリーマンのとかラマヌジャンのとかいろいろあるようです。