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2014-03-10

確率解釈

| 21:26 | 確率解釈 - オベリスク備忘録(跡地) を含むブックマーク

シュレーディンガー方程式に出てきた波動関数 は、いったい何を表しているのか。現在最もオーソドックスな説明は、 が、粒子の存在確率を表しているとする解釈である。これは、「確率解釈」と呼ばれる。これとは別の考え方をする学者もある。波動関数本質的複素数であることがわかっているので、複素共役* で表すと、
   
と書ける。

 さて、そうなると、一個の粒子は、全空間内に確率1で存在しなければならないので、全空間積分を取って、
   
とならなければならない。波動関数をこのようにすることを、「規格化」という。もし
   
となったら、新しい波関数
   
とすれば、波動関数規格化される。この を、波動関数ノルムという。

 もし粒子が空間のどこかで見出されれば、波動関数は「収縮する」と考えられている。このとき、粒子はその一点で確率1で存在しているわけである(という言い方は、不確定性原理より、ミスリードかも知れない)。このメカニズム量子力学建設黎明期から問題になっているのだが、未だによくわかっていない。

シュレーディンガー方程式

| 17:01 | シュレーディンガー方程式 - オベリスク備忘録(跡地) を含むブックマーク

ここでは空間座標は x のみの一次元で考える(三次元などに拡張しても同様)。振動数ν、波長λで x 軸の正の方向へ伝播する波は、
   
と書ける。

ここで、ψに天下り式に、次の演算子を作用させてやる。すると、
   
   
となる(参照)ので、対応
   
を付けてやることができる。

 さて、古典的な場合、
   
であるから、上の対応より、
   
を得る。これが(一次元の場合の)シュレーディンガー方程式である。 は「波動関数」と呼ばれる。なお、ここでは古典力学とはちがい、x は t の関数でないことに注意。


※注意
複素共役を * で表すと、 について上の p,E の対応は、それぞれ符号が反対になる。しかし、シュレーディンガー方程式の右辺は、p は二乗されるため、結局符号はもとのままで変らない。よって左辺だけが符号が逆になるので、
   
となる。

2014-02-27

デルタ関数

| 15:34 | デルタ関数 - オベリスク備忘録(跡地) を含むブックマーク

デルタ関数δ(x) とは、任意関数 f(x) に掛けて積分すると、
   
となるような関数である。

特に f(x)=1 なら、
   
となる。また、平行移動した
   
も成立する。量子力学では、デルタ関数表現として
   
がよく使われる。


デルタ関数性質をまとめておこう。





また、デルタ関数表現として、階段関数
   
を使い、
   
と表わすこともできる。

波数

| 14:39 | 波数 - オベリスク備忘録(跡地) を含むブックマーク

波を と表したときの k を、波数と呼ぶ。これは「波の数」ではない。正しくは「単位距離あたりの位相変化」、あるいは「距離 2π(単位距離でないので注意)の中に入っている波の数」のことである。

波長をλとすると、
   
となる。 なので、
   
となる。ただし、 である。

前期量子論の二つの式

| 14:22 | 前期量子論の二つの式 - オベリスク備忘録(跡地) を含むブックマーク

前期量子論から得られる式に、 がある。Eは粒子のエネルギー、h はプランク定数、νは振動数。また、p は運動量、λは波長。

は、プランク(あるいはアインシュタインだとも云える)が提唱したもの。

また、式 は、こういうことである。電磁気学より、エネルギー密度 運動量密度 の間に、 という関係式が、既に知られていた。すなわち、運動量エネルギーの 1/c 倍となっている。よって、運動量を p とすると、
   
となる(ただし、λ=c/νである)。


よくわかる量子力学

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