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2009-08-01

はてな民に確率の問題を出してみよう

こんにちは、今回は確率の話です。


以前、職場で余興として問題を出したのですが、ほぼ全員がこの問題を知りませんでした。

理系が多く集まる職場なので、意外にみんな知らないんだなぁと思ったのですが、今度はリテラシーの高い(と勝手に思っている)はてな民に問題を出したら、どうなるんだろうと純粋な好奇心が沸いてきました。

なお有名な問題ですので、答えを知っている方はあまりヒントを出さない方向で・・・


f:id:pashango_p:20090806223359p:image


問1

ティムはテレビのクイズ番組に出演し見事優勝をはたしました、優勝賞品の自動車をゲットするチャンスを得たのです。

司会者は言いました。


「ここにA、B、Cの3つのドアがあります。

1つのドアの後ろには自動車、それ以外の2つのドアの後ろにはヤギがいます。

ティムは1つのドアを選び、そのドアの中に自動車が入っていれば賞品をゲットできます。

もし、ヤギが入っていた場合はハズレです。

さぁティム、どのドアを選びますか?」


ティムは自動車がどうしても欲しかったので、本気で悩みました。

ティム「Aのドア!」

それを聞いた司会者はニヤリと笑いながら言いました。


「ここでティムにスペシャルヒントをあげましょう。

 ティムが選ばなかったBとCのドアですが・・・

 実はCのドアにはヤギが入っています!」


司会者はどのドアが当たりかを知っていたので、ティムの選んだドア以外で、ハズレのドアを1つ開けてヤギを見せました。

さらに司会者は言います。


「さぁ、ティム。

 特別に選んだドアを変更する権利をあげましょう。

 本当にAのドアでいいんですか?それとも変更しますか?」


観客は大盛り上がり!

なお、ゲームのルールは以下のとおり。


  1. 3つのドアに自動車、ヤギ、ヤギがランダムに入っている。
  2. ティムはドアを1つ選ぶ。
  3. ティムの選んだドア以外のドアのうち1つを必ず開ける。
  4. 司会者は自動車のあるドアを知っていて、必ずヤギの入っているドアを開ける。

ティムは最初の「A」のドアを貫くべきか、それともドアを変更すべきなのか・・・

どちらが自動車をゲットできる確率が高いでしょうか?

以下の中からお選びください。


A.最初の直感を信じるぞ!選択を変えない。

B.やっぱり選びなおそう!選択を変える。

C.惑わされるな!どちらも同じ確率だ!


問2

さらに別バージョンの問題もあります。

こちらも合わせてどうぞ。


問1のゲームルールで、司会者がハズレのドアを宣言しようとした瞬間、地震がおきました。

偶然にハズレのドアが開いてしまい、中のヤギが見えてしまいました。

しかし、司会者はもともとハズレのドアを開けようとしていたので、気にせずに進行を続けました。

なお、ゲームのルールは以下のとおりです。


  1. 地震によってランダムで1つのドアが必ず開く。
  2. 自動車のドア、またはティムが選んだドアが開いてしまった場合、ゲームは無効。

ティムは選択を変えた方がいいのでしょうか?

こちらも、以下の中から回答を選んでください。


A.最初の直感を信じるぞ!選択を変えない。

B.やっぱり選びなおそう!選択を変える。

C.惑わされるな!どちらも同じ確率だ!


有名な問題なんで、知っている人は知ってるだろうなぁ・・・

でも、どんな結果になるのかなぁ、オラなんかワクワクしてきたぞ!

って、これで誰も答えなかったらどうしよう・・・そしたら

「我はメシア、明日この世界を粛清する。」ってエントリー立てます。


解答編:【回答編】はてな民に確率の問題を出してみよう - Pashango’s Blog


追記:

2009/8/2, 2009/8/4

問題文に誤解を与える箇所があったので、文章を変更しました。

もし、考えてしまった人がいたら、ごめんなさい。

anhedoniaさんの指摘により、誤解を招く司会者の一言を変更しました。問題の本質は変わりません。ありがとうございました。

通りすがり通りすがり 2009/08/02 13:01 問1は知ってました。
問2は知らなかったんでプログラムを組んでみました、sugeeeeeeeeee!!!!
なにこれ、すごいふしぎっ!!
解説希望。

通りすがり2通りすがり2 2009/08/03 12:46 問1は見たような気がする。
2の方が当たる確立が高かったような・・・
問2はわからない

なまえなまえ 2009/08/03 14:12 どっちも50:50?

TAK_TAKTAK_TAK 2009/08/03 14:20 bookmarkで回答せよというのですか?

とおりすがり3とおりすがり3 2009/08/03 16:05 あまり数学や確率は得意ではないですが、
問2を真剣に考えてみました

必ず変更する場合
(1)最初があたりの確率:1/3
無効になる確率:1/3
=>無効でないなら、必ず外れる
外れ 8/9
無効 1/9
当 0


(2)最初がはずれの確率:2/3
無効になる確率:2/3
=>全体で4/9で無効
=>無効でないなら、残りはヤギなので必ず当たる
外れ 0
当 5/9
無効 4/9

当たる確率の和
(1)+(2)=5/9


--------------------------------
変更しない場合に当たる確率:1/3

(a)選んだのが当たってるときに無効になる確率:1/3
結局1/9で無効
(b)選んだのがはずれのときに無効になる確率:2/3
結局2/9で無効

無効になる確率の和
(a) + (b) = 3/9

無効にならないのであれば当たるため、
6/9確率で当たる

とおりすがり3とおりすがり3 2009/08/03 16:12
しまった、結局A〜Cのどれ?っていうのを忘れてました

問2はAではないかと思います

pashango_ppashango_p 2009/08/03 16:15 コメントくださった方、ありがとうございます。
答えはコメントだろうが、トラバだろうが、ブコメだろうが、ご自由に:-)

回答編をアップしましたので、そちらをどうぞ。

bluegalebluegale 2009/08/03 17:14 先生!! この問題、
Erdosさんに伺うと良いと思います!! ;-)

anhedoniaanhedonia 2009/08/03 19:11 はじめまして
>>実はその内の1つのドアにはヤギが入っています!

誤解を招く、まずい表現だと思います。
なぜなら、二つのドアの内、一つにしかヤギが入っておらず、もう一方には車が入っていると、解釈できるからです。
もし、そのように解釈するなら、回答者は選択を換えるべきであり、もやや答えは確立の問題ではなくなります。

二つのドアの内、少なくとも、一つのドアにはヤギが入っていることは自明なのですから、不必要な台詞だと思います。

witty_foolwitty_fool 2009/08/03 20:02 問1:司会者の行動には何の情報もない。だからC。
問2:すでに開いてしまったドアを選び直す、
つまり
ティムが阿呆であるという選択肢を除けば残りのドアはどちらも同じ当たりの確率(1/2)

witty_foolwitty_fool 2009/08/03 20:24 Wikipedia読んだけどイマイチ納得できん。凡人だからか。

なまえなまえ 2009/08/04 01:29 はてぶ民、リテラシーなさ杉だろw

hide104shide104s 2009/08/04 04:00 ヒントを出したくなってくるなw

pashango_ppashango_p 2009/08/04 08:33 >bluegaleさん
Erdos先生は、生前にこの問題を間違っておられます。
もちろん、この問題が解ける事と数学者の資質は比例しませんけどね :-)

>anhedoniaさん
はじめまして、以前から貴方のブログは拝見してます、光栄です。
確かに誤解を招くので改変をしました。

>witty_foolさん
回答編のリンク先のFlashに解りやすい解説がありますよー :-)

>hide104sさん&なまえさん
まぁ、すでにブコメで解答が出てまからね、個人的に言うと問2でもう少し引っかかると思ったんですが、この正解率はすごいと思いますよ。

ヨン様ヨン様 2009/08/04 20:12 問2は初見だったのですが面白かったです。
無効になるのがポイントでしたね。

久しぶりに紙とペンを使いましたw
楽しい時間をありがとうございました。

nucnuc 2009/08/06 16:42 細かいことですが、地震が起きた時に、「どちらの扉が開く確率も同じ」で「地震によって正解がネタばれして残念だった」という可能性も同程度あるが実際にはそれは起きなかった、ということがクリティカルに重要なので地震がどのようなものであったかが明確でないのは問題では、と思ったんですが下のルールで説明してありますので、これならいいですね。

手前みそですが http://d.hatena.ne.jp/nuc/20050727#p3 のコメント欄あたりをリファーしておきます。

shunsukshunsuk 2009/08/09 21:12 問2でゲームが無効になったとき、車がもらえなくなるのか、やり直しになるのかによって答えが変わりますよね。回答編を拝見しましたが、問題文に「無効になったらやり直し」と入れた方がいいのではないかと思います。

pashango_ppashango_p 2009/08/09 22:21 >ヨン様
「楽しかった」という言葉が一番うれしいです。勉強は本来楽しくあるべきですよね。

>nucさん
恐縮です、ブログを拝見しましたが、レベルが高い・・・地道に勉強します。

>hunsukさん
なるほどなるほど、確かに言葉の定義問題で問題が楽しめないのは問題ですね。
では、問2でゲームが無効になった場合「車がもらえなくなる」とします。
そのとき、扉を変えた方がいいのか、変えない方がいいのかの確率を考えると面白いと思います。

精力剤精力剤 2012/05/21 16:23 精力剤、媚薬、ED薬、漢方薬【ekenkou.jp/】

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