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2009-08-09

ベイズの定理(入門編)

前回のエントリーで予告した通り、今回は「ベイズの定理」です。


事前に断っておきますが、ベイズの定理は簡単です。

内容は小学生レベルの算数ですから、解らなくても自信を持って何回か読みなおせば絶対にわかります。

(わからなかったらコメントに質問してね)


ベイズの定理ってなんぞ?

ベイズの定理とはトーマス・ベイズ(1702-1761)というイギリスの牧師によって発見されました。


今やベイズの定理はあらゆる所に使われいます、スパムメールを振り分けたり、犯罪捜査に使われたり、マーケティングに使われたり、人工知能に使われたり、沈没しちゃった潜水艦を見つけたり、株の売買に使われたり、結婚相手を見つけちゃったり・・・

ベイズ万能すぎるだろ!!


「ベイズの定理」を理解はしなくても、言葉だけでも覚えていれば何かと便利です。

何かしらの問題に直面した際に、


「ふむ・・・このxにベイズの定理を使えば・・・」


とつぶやくだけで、それっぽく見えるのでオススメです。

(「バルキスの定理」くらい万能ですので、使用は自己責任でお願いします)


ベイズの前に「条件付き確率」

ベイズの定理を理解するには、みんなが大嫌いな「条件付き確率」を理解しなくてはなりません。

「条件付き確率」とは、


ある事象Bが起こる条件下で、別の事象Aが起こる確率のこと。

記号ではP(A|B)と表す。


という事です。

OK,OK、君の言いたい事はよく解ってる、よくわからないんだろ?

例えば「あなたは男だとして、イケメンである確率は?」という問題があった場合、先ほどの記号で表すと「P(イケメン|男)」となります。

P(A|B)で、Bが前提の上でAがで成り立つ確率となります。


ここで1つ有名な問題を出しましょう。

隣の家に2人の子供がいる事が解っています、ある日、隣の子供のうち1人が女の子である事が解りました。*1

隣家のお母さんに「女のお子さんはいますか?」と質問した所「はい」と答えました。

このとき、もう1人の子供も女の子である確率はいくつでしょうか?

※なお、男女比は1:1とする。


答えを記号で表すと「P(2人とも女の子|1人が女の子)」となります。

考え方としては、子供2人の組み合わせは「姉妹」、「姉弟」、「兄妹」、「兄弟」の4通りです。

「1人が女の子」という前提条件があるため、「兄弟」が除外され「姉妹」、「姉弟」、「兄妹」の3通りとなります。

その3通りの中で「姉妹」が当たる確率を求めればいいのですから、答えは「1/3」です。

「1/2」だと思った方、猛省してください。


いよいよベイズの定理

「ベイズの定理」とは、まさしく今まで説明してきた「条件付き確率」を求めるための計算式なのです。

まずは「ベイズの定理」を見てましょう。


P(A|B) = P(A∧B) / P(B)


「P(B)」事前確率と呼ばれ、単純にBが起こる確率です。

(ちなみに「P(A|B)」は事後確率と呼ばれます)


「P(A∧B)」同時確率と呼ばれ、AとBの両方の事象が成り立つ確率です、∧は論理記号で論理積を表し、「(A∧B)」は「AかつB (A and B)」という意味となります。


「P(A∧B)」が難しい!と思った方、ほとんどの場合は「P(A∧B)」=「P(A)」と思ってOKです。

ごく稀に例外となる問題もありますが、そういう問題は事前情報が欠けていたりなど、どこか不自然な問題が殆どです。

だから解らない人は無理せずに、こう覚えておいてください、その内慣れてきますから :-)


ベイズの定理に関してはここで面白い問題を見つけました。20年前の早稲田大学の入試問題だそうです。


5回に1回の割合で帽子を忘れるくせのあるK君が、正月に A、B、C 3軒を順に年始回りをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきたことに気がついた。2軒目の家 B に忘れて

きた確率を求めよ。


正直、どの家で忘れたかよりも、K君が心配ですが・・・

普通に考えれば、Bの家で忘れた確率は「4/5×1/5=4/25」(A家で忘れない確率×B家で忘れる確率)ですよね。

しかし、上記の確率では「3軒回って帽子を忘れない確率」も含まれています、「帽子を忘れている」という前提条件がついている事に注意です。

条件付き確率の記号で表すと「P(B家で忘れた確率|帽子を忘れた確率)」となり、ベイズの定理を使うと以下の式になります。


P(帽子を忘れた確率) =

  (1/5)+(4/5×1/5)+(4/5×4/5×1/5) =

    61/125


P(帽子を忘れた確率∧B家で忘れた確率) =

  P(B家で忘れた確率) =

    (4/5×1/5) = 4/25


P(B家で忘れた確率|帽子を忘れた確率) =

  P(帽子を忘れた確率∧B家で忘れた確率) / P(帽子を忘れた確率) =

    (4/25)/(61/125) = 20/61


答えは「20/61」となります、簡単でしょ?


前エントリーの問2をベイズの定理で解いてみよう

前エントリーの問2をベイズの定理で解いてみましょう。


多くの方が「扉を変える2/9、扉を変えない2/9、無効になる5/9」と答えていたのが印象的でした。

確かにこれでも間違いではありませんが、条件付き確率を理解しているとは言えません。

問2では「地震で無効にならなかった」という前提条件が付き、「P(扉を変えて当たる確率|地震で無効にならない確率)」を求めるので、以下の様になります。


P(扉を変えて当たる確率) = (4/9)×(1/2)

P(地震で無効にならない確率) = 4/9


P(扉を変えて当たる確率|地震で無効にならない確率) =

  P(扉を変えて当たる確率) / P(地震で無効にならない確率) =

    ( (4/9)×(1/2) )/(4/9) = 1/2


となり、答えは「1/2」となります。


まぁ、「変えるか、変えないか」の2択問題なのに「2/9と2/9」という答えはおかしいですよね

私が髪型で「7:3分け」にしようか「真ん中分け」にしようか悩んでいるところへ、


「2:2分けがいいよ^^」


と言ってるようなもんです。

残りの6はどこに?っていうか、ハ、ハゲちゃうわ!!


「残りの6は、近い将来なくなる可能性が高いので除いておきました^^」


く・・・くやしぃ!!


長くなったので続きます

自分でもベイズの定理で曖昧な部分があり、備忘録も兼ねて説明を書きました。

本当はベイズの定理でもっと面白い事が出来るんですが、それはまた次回に。


P.S

確率問題「トランプと3つの箱」 - kojetteの研磨日記にベイズの定理の問題が出ています、ベイズの定理の有効性を示す問題として非常によく出来ています。

時間があったら解いてみると面白いと思います。

(まだ解答が未発表です、私も解答しているけど間違ってたら非常にカッコ悪い・・・)

*1:この言い方だと、問題が確立しないので変更しました、id:kojetteさん、ありがとうございます

なまえなまえ 2009/08/10 13:52 犯罪捜査ではなく犯罪操作?

pashango_ppashango_p 2009/08/10 16:26 あわわ・・・犯罪操作ではなく犯罪捜査です。
修正しました、ありがとうございます。

のひのひ 2009/09/30 11:43 「隣の家...」について質問があります。
私の考え方ですと、子供2人の組み合わせは、「女、女」、「男、女」、「男、男」の三通りになり、「男、男」が消され答えは「1/2」になるような気がします。
なぜ、「姉弟」、「兄妹」と分けたのかが理解できません。
もしお時間がありましたら、解説いただけたら嬉しいです。

通行人通行人 2009/10/08 13:33 子供が2人いる家庭を考えてみて下さい。
子供2人の組み合わせは、確かに「女、女」、「男、女」、「男、男」の3通りになりますが、
各々の比率は1:1:1ではなく、1:2:1です。
「男、女」は、「姉、弟」と「兄、妹」に分けられるからです。
「長女、次女」、「姉、弟」、「兄、妹」、「兄、弟」
の比が1:1:1:1となります。

なお、「隣の子供のうち1人が女の子である事が解りました。」
という前提なら、確率は1/2でよいと思います。
詳細は↓ご参照。
http://d.hatena.ne.jp/kojette/200908

18です18です 2010/09/07 16:51 http://d.hatena.ne.jp/kojette/20090809
意味が分かりません。その次のモンティホール問題の改造版も答えだけ書いてあって解説がないです・・
古いところにいきなりレスしてすいませんが解説お願いします。

   2010/09/19 10:35 考え方としては、子供2人(名前をA,Bとする)の組み合わせは「姉妹」、「妹姉」、「姉弟」、「兄妹」、「兄弟」、「弟兄」の6通りです。

↑ 2011/02/08 03:29 姉妹・妹姉を分けるなら、姉弟・弟姉、兄妹・妹兄も分けて8通りにしないとおかしいが、いずれも無意味

質問質問 2011/07/17 00:51 >このとき、もう1人の子供も女の子である確率はいくつでしょうか?
>※なお、男女比は1:1とする。

質問質問 2011/07/17 00:52
一人が女の子なのだから、比率1:1なら、もう一人は男の子では?

pashango_ppashango_p 2011/07/19 02:02 >のひさん
通行人の方も答えておりますが、確かに種類だけを見れば「女、女」、「男、女」、「男、男」の3通りですが、「男、女」である確率は「男、男」や「女、女」の確率より上になりますよね。
通行人さんのまとめは上手いですね、これ以上、まとめられる自信がありません。

pashango_ppashango_p 2011/07/19 02:06 >質問さん
>※なお、男女比は1:1とする。
これは、問題に出てくる世界は、男と女の出生率が1:1であるという意味です。
問題に出てくる家庭の男女比が1:1としているわけではありません。

いんこいんこ 2011/07/22 23:34 条件付き確率の定義に照らして考えると答えは1/2になりますね。

たいがたいが 2011/10/22 14:37 P(2人とも女の子 | 1人が女の子)+ P(1人男1人女 | 1人が女の子)= 1
P(2人とも女の子 | 1人が女の子)= 0.5
ですかね.

kirinkirin 2011/11/09 09:21 >「P(A∧B)」が難しい!と思った方、ほとんどの場合は「P(A∧B)=P(A)」と思ってOKです。
>ごく稀に例外となる問題もありますが、そういう問題は事前情報が欠けていたりなど、どこか不自然な問題が殆どです。

この「例外」(←数学ではあまり見かけない言葉ですが)の具体例を教えてください。
私は「P(A∧B)=P(A)」の方が、例外、というか特殊なケースと思うのですが。

よろしくお願いします。

あれれあれれ 2011/12/05 16:21 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/probability/bayes.htm
に同じ問題が出ています。ベイズの定理を使うと答えは1/2です。女の子がいると答えた時点でどちらかが女であれば良いので女、女である事前確率が倍になっているからです。

hogeover30hogeover30 2012/01/29 02:09 A: 2人とも女の子
B: 「少なくとも」1人が女の子
と考えればP(A∧B)=1/4, P(B)=3/4 で P(A|B)=1/3
になりますね

kirinkirin 2012/03/17 11:16 >(わからなかったらコメントに質問してね)

してるんですが...
回答いただけないんでしょうか?

(・∀・)(・∀・) 2012/09/29 19:26 もう一人は(その「女の子」の)兄、弟、姉、妹のうちのどれか。
男の場合も、女の場合も、ともに2つだから確率は同じになりますね。

213213 2013/10/14 22:33 株の売買に使えると書いてましたが具体的にどのようにして何の確率が出せるのですか?

yhyh 2013/12/08 12:41 答えが1/2じゃない理由のとっかかりの考え方
(・∀・)さんのコメントは一人の子供が女の子であったときにもう一人の子供が男の子である確率という問題ではコメントにあるように1/2になる。一人目の子供の性別は二人目の子供の性別に影響しないので。
でもこの問題の「女の子供がいる」という情報は「兄・弟」という可能性を排除していることから一人目の子供だけではなくて二人目の子供の性別についても示唆しています。この示唆している情報を考慮して計算すると1/3になるという話。

sksk 2014/01/03 05:15 選択肢は「男」「女」の2つ
兄弟姉妹と分類したところで「男」「女」という括りの中で分けてるだけなので、選択肢が増えるわけではない
男(兄・弟)女(姉・妹)ということ
つまりこの問題は言葉のすり替えだ

仮に兄・弟・姉・妹の4つに選択肢を分けて、兄+弟の組み合わせを抜いたとしても
残りの組合わせは「兄妹」「姉弟」「姉妹」「妹姉」の4つになる
男:女は2:2だ
つまり女2人の個の差を無視して2つの選択肢を1つだと錯覚させる言葉のトリックに過ぎない

774774 2014/01/28 06:42 <つまり女2人の個の差を無視して2つの選択肢を1つだと錯覚させる言葉のトリックに過ぎない
かっこよすぎわろたwww
どや顔で書き込んでたのが目に浮かぶわwwwww

「姉妹」と「妹姉」は組み合わせとして同一のものだけど、「兄妹」と「姉弟」は異なるだろうが

通りすがり通りすがり 2014/02/06 02:28 ↑いやおかしくないよ
問題文はあくまで男か女かということを問うているから。あと一人が女の子である確率は1ですね。もしお隣さんに虚言癖がなければだけど
あとこの記事消した方が・・・根本的におかしい

通りすがり通りすがり 2014/02/06 02:28 ↑いやおかしくないよ
問題文はあくまで男か女かということを問うているから。あと一人が女の子である確率は1ですね。もしお隣さんに虚言癖がなければだけど
あとこの記事消した方が・・・根本的におかしい

考え方が混乱しています考え方が混乱しています 2014/02/10 23:07 2分の1が正解です。

この解説では、姉、妹、兄、弟の組み合わせで考えるから訳がわからなくなっています。
汎用性がありません。
枠1と枠2に男と女どちらが入るかで考えればいいだけです。
枠1を年長者、枠2を年少者と考えてもいいでしょう。
考慮すべきケースとしては枠1に男で、枠2に男または女、枠2に女で、枠1に男または女の計4種類だけです。

枠1に女が決まっている場合、枠2は50%で女。
枠2に女が決まっている場合、枠1は50%で女。
よって、2分の1です。
(もしくは、枠1だけを固定して枠2に入るのは女が50%、と考えてもいい)

3分の1の解答が誤りなのは、枠1、枠2のどちらかを固定したケースの片方を数えていないからです。
男女(兄妹、姉弟)の組み合わせの場合だけ両方数えていますが(枠1,2を区別している)、これと同等に考えるには女女(姉妹、姉妹)の組み合わせも両方数えます(枠1,2を区別すべき)。
枠で考えれば明らかですね。

補足補足 2014/02/10 23:19 もう少し補足します。

男女のケースでは、子供が男A女Bとした場合に、男Aより女Bが年上か年下かで2回数えています。(兄、弟で考えると混乱します。男は同一人物で考えます)
そうであるならば、女女のケースでは、子供が女C女Dとした場合に、女Cより女Dが年上か年下かで2回数えるべきです。

補足補足 2014/02/10 23:19 もう少し補足します。

男女のケースでは、子供が男A女Bとした場合に、男Aより女Bが年上か年下かで2回数えています。(兄、弟で考えると混乱します。男は同一人物で考えます)
そうであるならば、女女のケースでは、子供が女C女Dとした場合に、女Cより女Dが年上か年下かで2回数えるべきです。

通りすがり通りすがり 2014/02/15 22:47 「サイコロで3回連続で1が出た場合、次にスローした時に1が出る確率が低くなる。」
このぐらいのレベルの低さですね。
猛省してください。

通りすがり通りすがり 2014/02/23 23:37 自分も混乱していたのですが、漸くわっかりました!

pashango_ppashango_p 2011/07/19 02:06
>質問さん
>※なお、男女比は1:1とする。
これは、問題に出てくる世界は、男と女の出生率が1:1であるという意味です。
問題に出てくる家庭の男女比が1:1としているわけではありません。

出生率が1:1ですので、仮に各家庭で2014年(「に」または「まで」※)に30000:30000(=1:1)の男女が生まれたとします。
その方たちは先に生まれたので兄や姉となります。
それから2019年(「からあとに」または「に」※)にその2014年に男の子を生んだ内の30000家族が、15000:15000(=1:1)の男女を生みます。(※分かりやすくするため)
また、同じように女の子が15000:15000(=1:1)で男女生まれます。
すると、子供は合計で120000人です。兄弟は15000、兄妹は15000、姉弟は15000、姉妹は15000。
よって、それぞれ、1:1:1:1になります。

ですが、この問題自体は、0年<k<20年となるk年が存在し、そのk年のうち、その世界、日本なら日本と言う国の中で、出生率が1:1で男女の子供が生まれていることが前提だと思われます。
失礼しました。

通りすがり通りすがり 2014/02/23 23:52 と思ったのですが、こういう考えもできますね。
2014年に2000:4000の男女が生まれ兄、姉に。
その1年後に2015年に4000:2000の男女が生まれ弟、妹に。
そのとき、男女の出産率は1:1になります。
結局、これは分かりませんね・・・。

通りすがり通りすがり 2014/02/24 00:03 ↑その1年後に2015年に4000:2000の男女が生まれ弟、妹に。
間違えました、というか、詳しく言うと。
2015年に2014年に生まれた男の子(兄)のいる家族が1334:666
その逆、女の子(姉)の家族2666:1334となるならです。
コレの場合、下の子に合わせて、兄弟の比が決まり、
兄弟が1334、兄妹が666、姉弟が2666、姉妹が1334で、兄妹比にはなりませんね。

通りすがり通りすがり 2014/02/24 00:05 ↑兄妹比にはなりませんね。
またまたすみません。兄弟比が1:1:1:1になりませんね。と、言う意味です。

通りすがり通りすがり 2014/02/24 00:33 えーっと、また書きこんでしまってすみません。
↑の
>自分も混乱していたのですが、漸くわっかりました!

って書いてから下の者です。

えっと、1:1:1:1にするためには、
自然数をnとおいたとき、
ある20年間以内にある家族が2人の子供を産み終えているという事実が存在し、
その家族はその問題が出される時間前に、
出生率は2n:2n(=1:1)の男女比で兄姉を生んでおり、
兄姉を持つその家族がn:n(1:1)となるような男女比となる弟と姉を生んでいる
という条件が付いて初めて成り立つ問題だということですね。

通りすがりりりり通りすがりりりり 2014/02/25 12:48 別にどっちが年が上とかは考慮に入れなくてもいいんじゃないか?
必要なのはただ単に男であるのか、女であるのかってことだけだから……
だから単純に考えて、
片方が女であるという場合の数は(女、男)(女、女)で2
そのうちもう片方も女であるのは(女、女)の1通りだけなので、求める確率は1/2
だと思うんだけど違うんかな…

正解です正解です 2014/03/06 23:41 >通りすがりりりり
さん
上で枠の話をした者です。
その考え方で正しいです。非復元抽出における確率は、すでに決定したものは関係ないからです。
私の解説が多少複雑になったのは、それまでの流れの誤解を指摘するためであって、本来であればその考え方だけで十分です。
1枠埋まっている場合、あとの1枠に男女が来る確率は半々ですね。

正解です正解です 2014/03/06 23:41 >通りすがりりりり
さん
上で枠の話をした者です。
その考え方で正しいです。非復元抽出における確率は、すでに決定したものは関係ないからです。
私の解説が多少複雑になったのは、それまでの流れの誤解を指摘するためであって、本来であればその考え方だけで十分です。
1枠埋まっている場合、あとの1枠に男女が来る確率は半々ですね。

えーえー 2014/03/08 05:21 | M | F
------------
M|MM |MF
-------------
F|FM |FF
上の各枠の確率は25%だから、情報によりMMを除けるんだからFFになる確率は1/3でいいんじゃないの?

はてな村はてな村 2014/05/14 12:30 条件つき確率を語る上で欠かせない、「独立」と「従属」の単語がここまで1つも出てきてないことに驚きです・・・。もう1人の子供も女の子である確率ってのは独立だから1/2と一瞬で導ける訳ですが。
コメ欄で既に指摘されてますが、「姉弟」「兄妹」で重複して数えてる(あるいは姉弟・兄妹は区別してるのに妹姉・姉妹は区別していない)問題点に気付いても解決しますがね、最初自分も思わず騙されました。
>えーさん
その表の見方がよく分かりませんが、1人目が男のときもう1人が女をMFと表すなら、MM同様MFも除けるのでは。

名無し名無し 2014/05/15 17:21 少なくとも一人が女→1/3
たまたま見た一人が女→1/2
ここでは明らかに「少なくとも一人が女」の意味なので1/3で正解

姉弟・兄妹は区別してるのに妹姉・姉妹は区別していないとか言ってる人は2回コイン投げて表が1回裏が1回出る確率求めるときに「表・裏」と「裏・表」を区別しないの?

今更っぽいですがコメ欄の流れがおかしいので。

はてな村はてな村 2014/05/16 21:27 >>ここでは明らかに「少なくとも一人が女」の意味なので
どう明らかなのかさっぱり分かりません

コインの例も、貴方の主張する、例題が「少なくとも一人が女」の意味が前提の理屈ですね。実際には違います。
例題はコインで例えると「表が1回裏が1回出る確率」ではなく、「1度目に表が出たとき2度目に裏が出る確率」です。

「少なくとも一人が女」の場合だとこんな感じの例題になりますね
二人の子供がいる隣家のお母さんに、「女のお子さんはいますか?」と質問したら「はい」と答え、更にもう一人の子も女の子である確率を求めよ

この記事の例題では「はい」と答えるのが確定してますから、話が全然違ってくる訳です。

従属と独立について補足。
この記事の2個目の例題は 条件1「3件回ったとき帽子を忘れる」条件2「家Bで帽子を忘れる」 条件2は条件1に従属します、もし帽子を忘れなかったら条件2の確率は0になりますよね。
1個目の例題は 条件1「片方が女の子」条件2「もう片方が女の子」 条件2は独立です。片方が男でも女でも、もう片方の性別に影響しませんからね。

はてな村はてな村 2014/05/16 21:36 ごめんなさい、訂正します 自分の書いた「少なくとも一人が女」の場合の例題がおかしいですね。これは「2回コイン投げて表が1回裏が1回出る確率求める」場合の例でした。ところで、「少なくとも一人が女→1/3」ってどういう意味でしょうか?子供二人のうち少なくとも1人が女の確率は3/4ですよね。

名無し名無し 2014/05/17 16:51 少なくとも一人が女→1/3
たまたま見た一人が女→1/2
の矢印の先は最終的な確率のことです。
http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/bayes.shtml 問題7,8
http://philonous.blog111.fc2.com/blog-entry-19.html
http://philonous.blog111.fc2.com/blog-entry-15.html

amam 2014/07/28 15:21 すごく参考になりました。
おかげで完璧です。

ななしななし 2015/01/20 00:33 二分の一だろーーーーー!!!!!(爆)(爆)(爆)

ネタでしかないーーーーー!!!wwwwwww

カッコつけて語っといて間違えるとかwwwww

こんなん難しく考えなくてもいいよwwww

高校中退の俺でもわかるwwww

一人が女の子っていう条件なら

二分一やろ(爆)(爆)

女の子が1人決まってるから、

兄弟、姉妹で考えても二分の一やろwww

ななしななし 2015/01/20 00:37 ちょっといいすぎたね(´・ω・`)

単純に単純に 2015/11/10 15:23 「女のお子さんはいますか?」で「はい」ということは、2人とも女の子か、1人だけ女の子かのいずれかで、男の子だけの可能性はないので、2/3の確率。
この時、2人とも女の子か、1人だけ女の子の2つの可能性で、もう一人も女の子となる確率は1/2。
なので、(2/3)*(1/2)=1/3で記事で正しいのでは。姉とか妹とか考える必要ないのでは。

ナナシナナシ 2015/11/15 17:33 もし2人の子供が全く同時に生まれた双子だった場合はどうなるんでしょうか?
これは別に無理な屁理屈をこねようとしてるわけではなく、誰かが同時に二枚のコインを投げ、その少なくとも一方が裏か表を知りえた場合として置き換えたら、という話です
同時にコインを投げたのに裏表と表裏を区別はしないのではないでしょうか
子供問題の場合も長子と次子は区別するという前提はないのに、姉弟と兄妹というようにコインで言えば一回目と二回目を区別してるのが納得いかないのです

ゆりゆり 2016/01/17 16:02 記事は誤りです。
 
隣家のお母さんが答えた時点で、与えられた情報は「少なくとも一人は女の子」というものです。で、これが「姉」なのか「妹」なのか分からない。
 
「姉」であった場合、もう一人の可能性は「弟」か「妹」で確率はそれぞれ 1/2 。
「妹」であった場合、もう一人の可能性は「兄」か「姉」で確率はそれぞれ 1/2 。
 
つまり、「姉・弟」「姉・妹」「妹・兄」「妹・姉」の四つの組み合わせがあり、このうち両方とも女の子なのは「姉・妹」「妹・姉」の二つ。よって確率は、2/4 = 1/2 。

(-_-)(-_-) 2016/01/29 12:50 「姉・妹」=「妹・姉」
ひとつ

mathmath 2016/03/11 16:25 出生率が1:1というのを「男の子と女の子が生まれる確率は同様に確からしい」といいかえるといいですよ。

子供には生まれた順番があるので,場合の数を順列で考えると

(一人目,二人目)=(女,女)(女,男)(男,女)(男,男)

の4通りが考えられます。
なので何も条件を付けないで「女の子がいる」確率を求めれば 3/4 となります。

条件付き確率は「前提条件」をあらかじめ考慮して全体の場合の数を考えてから確率を求めるので,今回の場合は「女の子がいる」という前提条件で全体の場合の数を考えれば

(一人目,二人目)=(女,女)(女,男)(男,女)

の3通りです。求めたい確率は「もう一人が女の子である確率」なので 1/3 となります。

記事ではややこしい表現をしていますが、ようは「男の子と女の子が生まれる確率はともに1/2であるとする。2人の子供が生まれた時に1人が女の子であれば,2人とも女の子である確率を求めよ」という問題です。

「女の子がいる」という事象をA
「二人とも女の子である」という事象をB

とすれば,求める確率は

P(B|A)=P(B∧A)/P(A)=(1/4)/(3/4)=1/3

となります。
(※ 女の子がいて,なおかつ二人とも女の子である確率(P(B∧A))は単純に 1/4 です)

mathmath 2016/03/11 16:46 条件付き確率の難しいところは「その決断をどのタイミングで行ったか?」というところで確率が変わることです。
モンティホールの問題も極端な例にするとその意味が分かりやすくなります。


「100枚の扉の1つには10億円の賞金を用意しています。その1つを選べばそれはあなたのものです。」といわれて,あなたは1つの扉を選びました。

「では残りの99枚の扉から98枚のはずれの扉を開けてあげましょう。」と司会者が言って98枚の扉をあけました。

「今なら扉を変更してもかまいませんが,変更しますか?」と問われてあなたならどうしますか?


「変えようが変えまいが確率は 1/2 だ!」と言い張って適当にあしらいますか?


今回の問題で1/2と言っている方は,どっちでも同じと言っていることになるのでよく考えてみて下さい。

yamadayamada 2016/04/22 21:03 この記事の書き方が悪い
姉妹兄弟ではなく男女で考えるべきだし
このとき、もう1人の子供も女の子である確率はいくつでしょうか?
ではなく、2人の子供が共に女の子である確率を聞くべきだと思う

! 2016/07/25 00:58 ゆりさん→(-_-)さんで納得

! 2016/07/25 00:59 ゆりさん→(-_-)さんで納得

マスオマスオ 2016/08/06 11:02 > 今回の問題で1/2と言っている方は,どっちでも同じと言っていることになるのでよく考えてみて下さい。

なに? この上から目線

パーセンテージパーセンテージ 2016/11/17 23:45 mathと同じ解説を別の言葉で
この世界では男女ともに50%の確率で生まれる。だったらふたりっ子の家庭は「男子二人である確率」が25%、「女子二人である確率」が25%、「男女である確率」が50%。
で、「ご家庭に女の子はいらっしゃいますか」の質問で、このうちの「男子二人」25%を取りのぞくだろ。ここでもう一度確立を求めると、もう一人が男子である確率はいくらになる?

パーセンテージパーセンテージ 2016/11/17 23:45 mathと同じ解説を別の言葉で
この世界では男女ともに50%の確率で生まれる。だったらふたりっ子の家庭は「男子二人である確率」が25%、「女子二人である確率」が25%、「男女である確率」が50%。
で、「ご家庭に女の子はいらっしゃいますか」の質問で、このうちの「男子二人」25%を取りのぞくだろ。ここでもう一度確立を求めると、もう一人が男子である確率はいくらになる?

コムギ子コムギ子 2017/01/14 14:34 みんな難しく考え過ぎ
一人目が女って決まった時点で
次に来るのは、兄か弟か女の兄弟(姉か妹)の三通りなんだから、3分の1で当たり前

小政九州男。小政九州男。 2017/02/28 10:38 スマホで簡単に事前確率ベイズの定理をつくれたけどね。ね。

小政九州男。小政九州男。 2017/02/28 10:38 スマホで簡単に事前確率ベイズの定理をつくれたけどね。ね。

ギャグギャグ 2017/04/18 16:10 量子論的に言うと、
もう一人が女性だった場合と男性だった場合が重なり合って存在している。

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