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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2017-12-10

コーシー分布とarctan微分

目隠しをしたアーチェリー選手が、長い壁に向かってランダムにたくさんの矢を放ったら、矢の当たった点はどのような分布に従うか。

答は「コーシー分布」(Cauchy distribution) になります。

コーシー分布は、よく知られている正規分布とは、似たようなベル型カーブであってもかなり性質が異なります。

特に際だった性質は、“平均も分散も無い”ということ。

たとえ1本であっても、うんと遠くに矢が当たったなら、それに引っ張られて平均が安定しないということです。

* そんなの常識、あたりまえでない大数の法則 >> http://miku.motion.ne.jp/stories/08_LargeNum.html


f:id:rikunora:20171210090147p:image

この図から、コーシー分布がどんな数式で表されるか、考えてみましょう。

矢の角度θを動かしたとき、矢のあたる場所は tan(θ) となります(定数は省略)。

矢の当たった数、つまり当たった点の密度は、tan(θ) のグラフの曲線の変化が大きいところほど濃くなります。

tan(θ) のグラフの曲線を横から見たものは tan逆関数 arctan(θ) ですから、

当たった点の密度は arctan(θ) の変化、すなわち arctan(θ) の微分ということになります。

arctan微分はどうなるか。

WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/) という計算サイトに行って、

arctan(x)'」と入力すると、以下の答が得られます。

f:id:rikunora:20171210090351p:image

  (d/dx) arctan(x) = 1 / (x^2 + 1)  ・・・これがコーシー分布の実質的な骨格です。


この arctan微分の意味を、アーチェリーから問い直してみましょう。

まず、矢の代わりにサーチライトで長い壁を照らすことを考えます。

f:id:rikunora:20171210090432p:image

壁の正面を照らしたとき、サーチライトのスポットの大きさが1だったとましょう。

正面から x だけ離れた位置をサーチライトで照らしたなら、スポットの大きさはピタゴラスの定理から √(x^2+1)だけ大きくなります。

今考えたサーチライトでは、距離が x だけ離れた様子を想定しましたが、

アーチェリーの場合は距離ではなく、角度が変動の元になっていました。

この距離と角度の関係を表したのが次の図です。

f:id:rikunora:20171210090525p:image

ある一定の角度が、正面の長さの1に対応していたとき、

x だけ離れた場所で対応する長さは、やはりピタゴラスの定理から √(x^2+1)となります。


コーシー分布=「角度の変化に対する、矢が当たった点の密度の変化」は、上記

 1.サーチライトのスポットの大きさ -- 密度そのものの変化

 2.長さと角度の対応関係

の2つを掛け合わせた値に反比例するので、結局

  コーシー分布 = 1 / { √(x^2+1) * √(x^2+1) } = 1 / (x^2+1)

となります。

なぜ反比例なのかというと、スポットが長くなればなるほど、密度は薄くなるから。


「目隠しされたアーチェリー選手」のたとえは、「禁断の市場(マンデルブロ著)」という本から引用したものです。

マンデルブロは、市場の変動は正規分布のように安定したものではなく、

むしろコーシー分布に近い“平均も分散も無い”世界なのだと主張しています。


ところで、正規分布とはどのようなものであったかと言うと、

 「平面の的を目がけてボールを当てたとき、中心からのずれの大きさの分布」

ということでした。

* 正規分布の導出 >> id:rikunora:20170310

ということは、ボールだと正規分布で、矢だとコーシー分布なのか?

両者の違いは、ボールは距離(長さ)で測っているが、矢は角度で測っている、という点にあります。

正規分布の“長さ”で行っていた議論を、そっくりそのまま“角度”に置き換えようとしても、うまく行きません。

的の中心から、横方向に長さ x、縦方向に長さ y ずれた点にボールが当たる確率は x^2+y^2 と表せるのですが、

横方向に角度 θ、縦方向に角度 φ ずれた点に矢が当たる確率は、θとφの何らかの和にはなりません。

2つの分布の違いは結局のところ、測り方の違いに求められると思うのです。


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久々にブログ更新しました。

ここ最近雑事が多く、ブログを書くゆとりがありません。

頂いたコメントなど、ろくに返事もできず、すいません。