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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2009-03-07

固有ベクトルが直交するのは

線形変換において、固有ベクトル直交するのは、その線形変換を表す行列が対称行列(複素数ならエルミート行列)となっていたときである。

これは線形代数の肝だと思うのですが、なぜそうなるのか、直感的なイメージを思い描くのは簡単ではありません。

そこで、2x2の実対称行列に限定して、固有ベクトル直交するイメージを描いてみました。


まずは線形代数の復習から。

平面上に描いた図形の、拡大、縮小、回転、反転、平行四辺形への変形は、2x2の行列で表すことができます。(ただし、図形の平行移動は扱わないことにします)

平面図形の変形とは、要するに方眼紙上の1個の正方形を、どのような形にもってくるか、ということです。

f:id:rikunora:20090308014205p:image

この図は、正方形の横を表すベクトル(1,0)を(a,c)に、縦を表すベクトル(0,1)を(b,d)に変形した様子です。

このように a, b, c, d 4つの数字でもって、正方形がどのように形を変えるかを表すことができるわけです。

これが行列による線形変換のイメージです。


このような図形の変形を行ったとき、「変形によって動かない直線」ができることがあります。

たとえば上下左右の反転では、垂直な線と水平な線は動きません。

(線の中の点が動かない、という意味ではありません。

 直線を変形した結果が、もとの直線の上に重なるという意味です。)

この「動かない直線」の向きを表すベクトル固有ベクトルです。

変形後の直線が、もとの直線を何倍引き延ばしたものになっているか、その倍率が固有値です。

2x2行列の場合、固有ベクトルは一般には2本出てきます。

回転といった変形では、動かない直線はどこにもできませんが、

そのときは固有ベクトル複素数になっているのだと考えられます。

(実質的に二次方程式の答と同じことです。)


さて、ここで2本の動かない直線が互いに直交していると、実際にとても応用価値が高くなるんです。

直角であれば、その2本の直線を新たな座標軸として使うことができます。

そして、この座標軸から眺めると、変形の様子が素直な形で、分かりやすく見えてくるんです。

で、今日の本題。どういったときに、固有ベクトル直交するのか?

答はよく知られていて、「変換行列が対称行列だったとき」です。

対称行列とは、行列の左上から右下に引いた対角線を中心に、上三角と下三角が鏡に映したように正反対になっている行列のこと。

2x2行列の場合には、右上(b)と、左下(c)の値が同じ行列のことです。

それでは、なぜ対称行列では、固有ベクトル直交するのでしょうか?


簡単な例として、

  1, 2

  2, 1

という行列を考えてみましょう。

f:id:rikunora:20090308014206p:image

方眼紙の変形を思い描けば、この変換で動かない直線は、斜め45度に2本出てくることが分かります。

ちょうどパンタグラフを折りたたむみたいな感じ。

確かに、この例だと対称行列によって、固有ベクトル直交していることがわかります。


それでは、次の例はどうでしょうか。

  1, 2

  2, -2

f:id:rikunora:20090308014207p:image

固有ベクトル直交しているかどうか、図から読み取れますか?

上手い具合に斜めにひしゃげたところ、たまたま固有ベクトル直交していた、といった感じでしょう。

この図だけから直交の様子を見抜くのは、やはり簡単ではないのです。


そこで視点を変えて、逆に直交する固有ベクトルが2本あったとき、変換行列はどうなるかを考えてみました。

互いに直交する固有ベクトル2本による変形とは、つまり、

平面全体をそれぞれの固有ベクトルの方向に拡大縮小することです。

そうした「斜めの拡大縮小」を行ったとき、方眼紙の正方形がどのように変形されるのかを調べてみます。

1個目の固有ベクトルが、X軸に対して角度θの向きにあったとします。

その固有値はλ1だったとしましょう。

2個目の固有ベクトルは1個目に対して直角で、その固有値はλ2であるとします。

まずはX軸上の(1,0)ベクトルの変換先について。

f:id:rikunora:20090308014209p:image

この図から、(1,0)ベクトルの変換先は、(λ1 Cosθ, λ2 Sinθ) を時計回りにθだけ回転させたところだと分かります。

計算すると、それは (λ1 (Cosθ)^2 + λ2 (Sinθ)^2 , (λ2 - λ1) Sinθ Cosθ) になります。

(時計回りのθ回転は

  Cosθ, Sinθ

  -Sinθ, Cosθ

これを掛け算するだけ。)

f:id:rikunora:20090308014210p:image

同じようにして、Y軸上の(0,1)ベクトルがどこに行くかを調べてみると、

 ( (λ2 - λ1) Sinθ Cosθ, λ1 (Sinθ)^2 + λ2 (Cosθ)^2 )

となります。

以上の、(1,0)ベクトルの変換先、(0,1)ベクトルの変換先を並べて書いたものが変換行列なのですから、

結果はこういうこと。

  λ1 (Cosθ)^2 + λ2 (Sinθ)^2 ,  (λ2 - λ1) Sinθ Cosθ

  (λ2 - λ1) Sinθ Cosθ,    λ1 (Sinθ)^2 + λ2 (Cosθ)^2

式は長ったらしいけど、確かに対称行列になってますね。


逆に、対称行列であれば、必ず固有ベクトル直交するのか?(十分条件

2x2の対称行列には、3個の数字があります。

(全部で4個の数字のうち、右上と左下が同じだから、3個。)

上の式には未知数が λ1, λ2, θ の3個ですから、ちょうど3個の数字によって、3つの未知数が定まります。

なので、3つの未知数が解ける場合には、対称行列の固有ベクトル直交することが言えるわけです。

( λ2 = λ1 のときは、3つの未知数を解くことができないので、直交する固有ベクトルが出てきません。)


※ 3/9 追記

対称行列による変換のイメージを絵にしてみました。

平面全体を、固有ベクトル(1)の方向にλ1だけ引き延ばし、

それと直交する固有ベクトル(2)の方向にλ2だけ引き延ばす、ということは、、、

f:id:rikunora:20090309010555p:image

こんな感じになるでしょう。

図中の曲線は、パラメーター t を用いて

  x = λ1 ^ t

  y = λ2 ^ t

で表されるような曲線です。

変換行列が対称になっているということは、図中で★印をつけた箇所の長さが等しくなる、ということです。

(★印は、ベクトル(1,0)の変換先のY成分と、ベクトル(0,1)の変換先のX成分です。)


上の絵は、λ1、λ2共に拡大している場合だったのですが、

もしλ2が縮小していた場合はこんな風になります。

f:id:rikunora:20090309010556p:image

この場合にも、★印を付けた箇所の長さが等しくなっています。


※部分的に対称な行列 (2010/06/04追記, 07/07修正)

f:id:rikunora:20100707222202p:image

質問です。質問です。 2010/06/01 23:48 3次元以上では同値ではないですよね

rikunorarikunora 2010/06/03 08:18 「実対称行列が直交行列によって対角化される」
このことは 2x2行列だけでなく、一般にNxNの行列でも成り立ちます。
さらに、このことを複素数にまで拡張した
「エルミート行列はユニタリ行列によって対角化される」
も成り立ちます。
なのでこの直交(ユニタリ)行列というやつは、かなり一般的な概念で応用価値も高いのですが、
いざイメージを描こうとするとなかなか難しい。
3次元で上のような絵が描けたら、かっこいいと思う。

質問です。質問です。 2010/06/03 20:35 確かにそれは正しいですね。
今、N×N行列の固有ベクトルがどの2つを選んでも直交しない必要十分条件を考えています。
エルミート行列でなく、行列が直和の形でないということまでしかわかってなくて、いいアイデアないですかね?

rikunorarikunora 2010/06/04 06:42 おっしゃっている意味が分かりました、失礼。上に図を追加しました。
行列の中に、部分的に対称な小行列が含まれていれば、
その部分だけ固有ベクトルが直交するのではないでしょうか。
正確に条件を確かめたわけではないのですが、たぶんこんな感じだと思います。

質問です。質問です。 2010/07/01 15:45 遅くなってしまいました。すいません。
上の場合、r=s=0でないと成立しないです。

いろいろかんがえていただき、ありがとうございました。

naoyukinaoyuki 2010/07/07 11:46 2010/06/04追記の図ですが,直行ではなく直交だと思います

rikunorarikunora 2010/07/07 22:48 確かめてみると、なるほどr=s=0の場合のみ直交していました。
なので、上の"部分的に対称な行列"の絵は正しくありませんでした。
なぜそうなるのか、もう少し自分なりにイメージしてみます。
naoyukiさん、ご指摘ありがとう。こっそり直しました。

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