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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2009-04-23

モンティ・ホール問題

確率の問題には、直感を欺くものがいくつもあります。

その中の傑作の1つが、これ。

あなたはテレビのバラエティショーで、賞品当てゲームに参加しています。

いま、あなたの目の前に、3つの箱が置かれました。

その中の1つには豪華賞品が入っていて、残りの2つはハズレです。

あなたはその中の1つを選びました。

すると、ゲームの司会者が、残りの2つのうちの1つを開けて、

それが空であることを示しました。

そして、こんな提案をしてきます。

「さて、ここで最初にあなたが選んだ箱と、まだ開けていない最後の1箱を

 取り替えるチャンスがあります。箱を取り替えましょうか?」

A.取り替えても、取り替えなくても当たる確率は変わらない。

  別に取り替える必要は無い。

B.取り替えた方が良い。


正解はB.取り替えた方が良い。

詳しい解説はwikipedia:モンティ・ホール問題でも見てください。

他にも、この問題を取り上げているページは、探すとちらほら見かけます。

1つだけ挙げておきます >> http://math.artet.net/?eid=303283

私は最初にこの問題を知って以来、根拠となる計算まで追ってみたのですが、

どうしても納得した気にはなれませんでした。。。


ふと新聞を見たところ、この問題が中学生向け全国学力・学習状況調査に出題されていました。

で、もう一度考え直してみたところ、わかったのです!

いま、あなたの目の前に、100個の箱が置かれました。

あなたはその中の1つを選びました。

すると、ゲームの司会者が、残りの98個の箱を開けて、

それらが空であることを示しました。

最初に選んだ箱と、最後に残った箱とであれば、交換する?

これなら絶対取り替えますよね。

なまじ箱が3つだから、悩むのです。

要は、司会者が空の箱を示して、ハズレの可能性を減らしてくれているんです。

私はこれで、直感的に納得しました。


・封筒のパラドックス >> id:rikunora:20090424

・3囚人問題 >> id:rikunora:20100315


kashikashi 2009/04/24 08:54 似たようでちょっと違う確率のパラドックス。

テレビのバラエティーショーで優勝したあなたは、
賞金がもらえることになりました。
2つの箱があり、片方には他方の2倍の額の賞金が
入っていることが分かっています。
あなたが片方を選んだところ、司会者がその中を
覗いて、「こちらには100万円入っています。
もう一方に変えてもいいですがどうしますか?」と
聞かれました。

A. 選んだ箱が高い方である確率は1/2なので、もう一方の
箱に入っている金額の期待値は、
50万*1/2 + 200万*1/2 = 125万
従って、もう一方に変えた方がよい。
B. 元々無作為に選んだので、どっちでも同じ。
C. (理由は知らんが)初志貫徹、元の箱のままがよい。

さて、どれが正しい?

rikunorarikunora 2009/04/25 04:41 悩んだ、そして答えは次のエントリーにて。

おもおも 2009/09/30 15:56

rikunorarikunora 2009/09/30 23:00 次エントリーのコメントにも何やら書いたのだが、この問題の答はとっても歯切れが悪くて、いまだもって何だかよくわからない。。。

たぬきたぬき 2011/08/03 01:53 つまり、1個と99個のどちらかに当たりが1個ある場合、99個もあるのだからこちらの方が当たりがある可能性が高いということですか…?

rikunorarikunora 2011/08/07 22:55 つまるところ、99 > 1 ということだと思います。
もっと極端に、999個とか、999999999個にすれば、ほぼ確実かと。

はたふり川はたふり川 2013/05/24 00:47 かつてモンティホールで悶々としましたが納得できず「確率の理解を探る」という3囚人問題を人はなぜ理解できないのかについて延々と解説する認知科学の本を読んでみたりもしました(途中で挫折)。
最終的に、極端なことを考えると見えることがあるかも知れない、というかつての師の教えを思い出し、1:1を1:2、3・・に拡張することで納得できたことにした気がします。

ちなみに私は「対数正規分布」というキーワードでこちらのblogを発見しました。

rikunorarikunora 2013/05/27 15:43 確率というものは非常なくせ者で、よくよく直観を欺くものだと思います。
私は、そんなときの強い味方がシミュレーションであると思っています。
シミュレーションと言っても、それほど高度なことではなくて、
要はひたすらサイコロを転がしてやってみる、というもの。
機会があれば、お試しあれ。

hirotahirota 2013/05/28 12:23 この問題の前提は「司会者が常に空箱を開ける」ですね。
「最初の選択が外れてればそのまま。当たってる場合だけ惑わすために開ける」だと逆になります。

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