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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2009-08-30

いまひとつの連分数展開

連分数展開という、ちょっとおもしろい計算があります。

こんな感じです。

f:id:rikunora:20090830190230p:image

規則的な連分数展開として、最も有名なのは黄金比 (1+√5)/2 でしょう。

* なぜ黄金比は美しいのか >> id:rikunora:20090401

平方根の連分数展開は、規則的に一定の周期を繰り返すということが知られています。

それでは、√3 の連分数展開は、どうなるでしょうか。

ここで私は、√2 の真似をして、こんな計算をしてみました。

f:id:rikunora:20090830190258p:image

見ての通り、分数の部分には2がズラッっと並ぶ形をしています。

なるほど、おもしろい形です。

ところが、ネット上で √3 の連分数展開の結果を検索してみると、たいてい上とは違った答が書いてあります。

試しに、Wolfram|Alpha あたりに"√3" と入力してみて下さい >> http://www.wolframalpha.com/

こんな結果が出てきます。

f:id:rikunora:20090830190332g:image

Wolfram|Alpha では、連分数をこんな記号で書いてあります。

[ 1; 1,2 ]

これは「最初が1で、分数の部分は1と2の繰り返し」という意味です。


上で私の出した、2がズラッっと並ぶ形と、ネット上にある [ 1; 1,2 ] という形は、見かけ上違っています。

まず、[ 1; 1,2 ] という連分数展開ですが、次のように考えれば正しいことがわかります。

f:id:rikunora:20090830190425p:image

ならば、私の出した、2がズラッっと並ぶ形は間違いなのだろうか?

そう思って、2がズラッっと並ぶ形の方を Wolfram|Alpha に入力してみたところ、どうやらこれはこれで合っているようです。

2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/(2 + 2/2))))))))))))))))))))))

0.7320508075689422839681907039419992787868435536829319212738...

√3 の数値は次の通りです。小数点以下12桁まで一致してますね。

1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558...

つまり、連分数展開の表し方は、1通りではないということです。

その中でも、分子を全て1に揃っているものは特に「正則連分数」と言うのだそうです。wikipedia:連分数

普通に連分数、と呼んでいるものは、正則なもののことだったのですね。


正則ということにこだわらなければ、平方根の連分数展開は、上記の方法で安直にできます。

以下に、√7を3つの方法で連分数展開した結果を挙げます。

f:id:rikunora:20090830190507p:image

f:id:rikunora:20090830190506p:image

f:id:rikunora:20090830190505p:image

この3つは、見かけは異なりますが、どれも√7(に整数を加えたもの)を展開したものになっています。

ちなみに、√7の正規な連分数展開は [ 2 : 1,1,1,4 ] といった4つの数の周期になります。


この「安直な方法」の、最初の式変形は、次のようにして行っています。

例えば √7 - 2 を考えた場合、

  (√7 - 2)(√7 + 2) = 7 - 2^2 = 3

という式に着目します。

この式の両辺を (√7 + 2) で割れば、√7 - 2 = 3 / (2 + √7) ですね。


1つ疑問に思ったのが、連分数は“約分”できるのだろうか? ということです。

例えば最初の√3の、2がズラッっと並んだ形の式を見てください。

ここに登場する全ての2という数字を、“約分”して一斉に1にできるのでしょうか?

値を確かめてみればわかるのですが、ここで2を1に変えることはできません。

(この√3の連分数展開に現れる2を一斉に1に変えたなら、それは黄金比を表す連分数となってしまいます。)

なので、連分数の“約分”はできないのです。

これも不思議と言えば不思議なことです。

連分数で見えている数字は「足跡」のようなもので、たとえ「足跡」を約分したとしても、

無限の彼方にある「本体」を割ることができないのかな?・・・そんな風に私は思っています。


さて、これで「安直な方法」で平方根を連分数展開する方法はわかったのですが、

反対に、連分数を平方根に戻す方法というものはあるのでしょうか。

実は、上に示したような連分数は、全て二次方程式の答になっています。

なので、繰り返し周期が1の単純な連分数であれば、わりと簡単に値を求めることができます。

f:id:rikunora:20110211143144p:image

連分数の値は、一般的には平方根ではなくて、(有理数) + √(有理数) といった形になるわけですね。


最後になりましたが、それでは普通に、正規連分数に展開する方法とは、どういったものでしょうか。

ネットを検索するといろいろ難しいことが書かれていますが、

私には Excelを使って実際にやってみる、という方法が最も分かりやすいと思いました。

f:id:rikunora:20090830190638p:image

ここに載っていました。

* 連分数展開による無理数の近似

>> http://www25.tok2.com/home/toretate/d000610.html


gbgb 2010/06/03 12:29 連分数で漂着致しました。

http://f.hatena.ne.jp/mathnb/20100528021239

この 廣大の函数fが    ◆  いい加減法 (と命名します);

   x^2=7

3倍し;3x^2=3*7

  8*xを(いい加減)加え

3x^2+8*x=3*7+8*x

x*(3*x+8)=8*x+21

から 生まれた。なんて 信じる 学習者は 世界に 存在しない。

授業で いい加減法で 導出される方 は 存在しそう(嗚呼)......◆

★★ 廣大の函数f の導出過程を ご教示ください★★

(f の 導出にこそ 意味が在ると 考えます ので) 

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           また 
http://f.hatena.ne.jp/mathnb/20100528021239
    に倣い 例えば
Sqrt[3], Sqrt[109], Sqrt[263], Sqrt[431], Sqrt[601],
Sqrt[773], Sqrt[971], Sqrt[1153]
     等のそれぞれについて
廣大の函数f に相当する函数の導出を、 遊び心で、お願い致します;

f(Sqrt[3])=Sqrt[3](不動点) f[x]=
f(Sqrt[109])=Sqrt[109](不動点) f[x]=

rikunorarikunora 2010/06/06 01:21 「廣大の函数」の作り方を、ブログ記事に載せました。
* √に近い分数の作り方
>> http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20100605/
よろしければご覧あれ。

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