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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2009-09-01

ガロア理論のサイトオープン

* Gの夢 〜 解けない方程式の謎を解く >> http://galois.motion.ne.jp/

目標は「高校生でもわかる 泥臭い群論入門」、ぜひ見て下さいね!

今日の時点ではまだ前半だけですが、後半も近々アップ予定です。

(内容はちょっとだけ“萌えて”います。ほとんどの人にとっては、うざいかも・・・)


「なぜ、五次方程式代数的に解くことができないのか?」

この問題意識から、ガロア理論は生まれました。

簡単に言います。

「5次方程式には5つの解がある。

 その5つの解を違いに入れ替える方法は 5! = 120通り。

 この120通りの入れ替え方法を、形として表現すると正20面体となる。

 より正確には、120通りを半分にした60通りの入れ替え方法が、

 “正20面体を回転して自身に重ね合わせる方法”に対応付けられる。

 (正12面体に対応付けることもできる。)

 ところで、実際に正20面体を動かしてみればわかるのだが、

 正20面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。

 これは、方程式で言うと、5次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。

 なので、五次方程式は解けない。」

なんのこっちゃ? 何故に、正20面体?

そう思った人は、ぜひ上のサイトへ。


5次方程式は正20面体、方程式には「見えない形」があります。

それが「群」と呼ばれているものです。

群のアイデアは、もともと方程式から始まったのですが、

今日では代数方程式を越えて、科学の至るところに応用されています。

「見えない形」は、必ずしも3次元とは限りません。

方程式に直接関係しているのですが、私たちが使っている「数」にも「見えない形」があります。

一見無機質に、のっぺりと広がっているように見える数の中に、隠れた構造が潜んでいる・・・

* 分数革命・虚数革命・数体革命 >> id:rikunora:20081005

数の持つ形は、「体の同型」という操作から導き出されます。

代数方程式で扱う体は、たかだか有限次元ですが、

実数の形なんてものを考えると、無限次元になっています!

なんとも驚くべき世界。


今回のサイト作成にあたって、特に参考にしたコンテンツBest3を紹介します。

* 物理のかぎしっぽ -- 代数学

>> http://hooktail.sub.jp/

ガロア理論を順序立てて、しっかりと、しかもわかりやすく解説してある素晴らしいサイト。

よくぞこれだけ作ったものだと、本当に感心します。

ガロア理論”をはじめとするキーワードで検索すると、ほぼ真っ先に(Wikipediaの次くらいに)このサイトが出てきます。

「初心者に易しく,楽しく,そして深く学ぶことのできる,誰もが欲しいと思っていた物理学ドキュメントをWWW上に構築しようとしています.」

うーむ、志が高い。


* 代数方程式のはなし

>> http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~konno/kogi/algeq.pdf

「なぜ、五次方程式代数的に解くことができないのか?」という疑問に、おそらく最短で、明快に答える読み物。

ガロア理論の手前くらいに来る、代数方程式を解くことに焦点があてられています。

はしがきによると、こういった方程式の話は、大学でもあまり行う機会が無いのだそうです。


* 群論は輪っかの理論

>> http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/group.pdf

群論がどのようなものか少し学んでみようという人には極力少ない文量で多くを述べた」

コンパクトに、要点を突いた良ドキュメント。

この方のサイトには、他にもいくつか数学関係のドキュメントがあって、どれも充実した内容です。

いま見たらリンク切れ。良サイトだったのに、無くなってしまったのか?

※しばらくリンク切れだったのが、復活したようです。嬉しい。


この他にも、いろいろと見て回りました。

こうしたサイトを見るに付け、作っている人はすごいな〜と、いつも感心します。

なので、いつも見ているばかりではなく、今回は負けずに恩返しの意味も込めてサイトを作ってみました。

どうぞよろしく。


※ 9/2追記

あわせて読みたい」で知ったのだが、“サマーウォーズ”でRSA暗号をやっていたのか。

http://d.hatena.ne.jp/LM-7/20090831/1251727185

なんか激しくネタが被っているぞ。

一応申し開きをすると、私はまだサマーウォーズを見ていない。

あと“数学ガール2/フェルマーの最終定理”も、まだ見ていない。

先に見てしまうのが怖い、このサイトを作り上げてから読もうと思っている。

数学ガール1”は読んだ。ファンになった、大いに影響を受けた、これを目指そうと思った。

次の“数学ガール3”で、ガロア理論が取り上げられなかったのは幸いなのかな?

あっと、もちろん F○ate は見ていないはずがない。サイトにあるストーリーを見れば一目瞭然か。


とねとね 2009/09/01 22:04 いつのまにかこんなにすごいサイトを書き溜めていらっしゃったのですね!
まずは新サイト開設おめでとうございます!
rikunoraさんのパワーに感服しているところです。
これからじっくり楽しませていただきますね。

rikunorarikunora 2009/09/02 12:42 さっそくのコメントありがとうございます。
構想から数えれば、作るのに1年以上かかっています。
なんかサイト作りが人生になってきました(笑)

dddd 2009/09/04 12:15 楽しく読みました。面白かったです。
早く続きが読みたいです。

rikunorarikunora 2009/09/04 18:13 お褒めいただきありがとうございます!
時間をかけて作った価値がありました。
続きの13話までアップしましたので、ご覧ください。

俄僅俄僅 2009/09/06 02:40 読みましたよ〜
方程式の代数的解法はリゾルベント(自転車の名前みたいだ)を介して
互換と似てくるわけかな?と思いました。

ところで
http://galois.motion.ne.jp/stories/G_Math_13.html
にある
http://galois.motion.ne.jp/stories/G_Story_neta.html
へのリンクがfile not foundになってます。

アトムアトム 2009/09/07 04:15 正直いって面白い。引き込まれてしまいます。
でも、時間がないので今夜は一話だけにしておきます。
あまりにもよく書けているので、続きが楽しみです。
だからもう一話だけ読んで寝ます。
(エネルギーの所のコメントは理解しました。丁寧な返答有難うございます。)

rikunorarikunora 2009/09/07 09:20 俄僅さん、読んでいただいて感謝です!
作った側からすると、全く読まれないのではないかという不安もあるわけで、
コメントいただけるとすごく嬉しいんですよ。

> 方程式の代数的解法はリゾルベント(自転車の名前みたいだ)を介して互換と似てくるわけかな?と思いました。
数学の人に言わせると「同型」っていうことで、同じものらしい。これは私にとっては、驚きの発見でした。
関係ないですが、俄僅さんは自転車に興味あります? 私は自転車通勤をしていて、けっこう力を入れています。

リンクのご指摘、ありがとうごさいます。作成途中の古いページ名のままになっていました。

アトムさん、そこまで褒められると舞い上がってしまう。。。
そういえばアトムさんのブログにも数に関する記事があって、問題意識が近いのかなと感じました。

俄僅俄僅 2009/09/07 16:20 ごめんなさい、実は自転車にはくわしくないです。
「やる夫がサイクリングをするそうです」シリーズを読んだことがあるくらいです。

rikunorarikunora 2009/09/08 15:56 自転車通勤は、仕事先の場所によりけりですからね。
やる夫といえば、これには驚いた、すごい。
* やる夫で学ぶフェルマーの最終定理
http://ansokuwww.blog50.fc2.com/blog-entry-531.html
ガロアも登場する。

hyukihyuki 2009/09/08 19:39 『数学ガール』著者です。ご愛読感謝します。
(まだサイトの中までは読んでいませんが)
この活動、応援しています。がんばってください!

rikunorarikunora 2009/09/09 09:12 おおっ、結城さんご本人からコメントいただけるとは、感謝感激です!
実はその後、友人にこんなことを指摘されました。
「結城さんや君が1つや2つ話を作ったところで、数学の題材は無くなったりはしない。そんなに数学は狭くはない。」
言われてみれば、その通りだと思いました。
私はCGIの作り方を、結城さんの本で学びました。
Javaのデザインパターンも、結城さんの本で学んでいます。
この場を借りてお礼を言います、どうもありがとうございました。
サイトが落ち着いたので、ようやく数学ガール2を開くときがきました。
あと、3も期待しています!

俄僅俄僅 2009/09/09 14:22 フォロー忘れてましたが、リゾルベントが自転車みたいだというのは、リカンベントという自転車があることからです。

それはさておき数学ガール3はゲーデルの不完全性定理だそうですね。私も楽しみにしてます。講談社現代新書の「無限論の教室」も面白いのでおすすめです。

ガロア、ゲーデルとくれば次はカントールあたりで連続体仮説の話も期待したくなります。(わかる気がしないけど)

とねとね 2010/02/08 00:00 「Gの夢 〜 解けない方程式の謎を解く」のサイトを僕のブログの記事で紹介(というか引用)させていただきました。本当によく書けているサイトだと思いますよ。

rikunorarikunora 2010/02/12 10:46 そう言っていただけると作った甲斐があります!
サイトのアクセス状況を見てわかったのですが、
数学だの群論だのといった分野は、実は世の中全体からすると、とってもマイナーな話題でした。
(別にアクセス数が全てとは言いませんが・・・)
興味のある者同士で、盛り上げてゆきましょう。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/03/30 08:46 犯罪者の意思を持つことは法律行為の第一歩である。ウソの付き方なんだよ。ウィルルソン定理を素数の無限性で考えるのはその始まりなのさ。数学の教科書が間違っていて何処が悪い!拡大体の分離性を微分体で流用するのは拙いんだよ。文学少年じゃあねえ。誘導尋問でやっておけ!

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/03/30 10:44 すごいなあ、半分まででいいじゃん?そっちの名前でも使っておけ!個人名義でもこっちじゃあ商売にはならねえ。情報力がすべてさ。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/03/30 11:03 ごめんね。間違えたなあ、新しい素数が出てくると拙いか。半分までは足して割れば良いんだろう?それは僕ではないよ。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/03/30 11:08 あれ、半分以降に新しい素数が出てくるのか?まあ、なんか拡張定理が出てくるよ。頑張れ!

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/03/30 12:28 教育的配慮が足りないって?どういう理論に埋め込むかだろう?高校生向けじゃあなあ、基本対称式には少なくとももう一つ一系列がある。行列式の一次従属性からの方が良いよ。連続体は連続体で議論するだね。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/03/31 17:42 賢明なる皆さんへ!真実は哲学のテキストにあり!最初に為すべきことは中古自転車の修理、次は修学旅行日程及び土地登記簿の確認であります。ガロア理論はすべての人びとに開かれているわけではありません。相続裁判が控えている場合は断固として拒絶すべき数学理論なのです!一応、確認をさせていただきました。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/04/01 10:31 何でそんなに怒るの?「数キャン兎子」のイメージ像なんじゃあないの?ボイヤーの数学史を敷衍する形で18世紀中葉から説き興し独立の気運高まるアメリカ数学界を中心として記述するだよ。解析学中心になっるなあ。だってね、裁判官が不完全性定理を主張することは絶対に赦さない、だよ。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/04/01 21:49 えっ!気付いちゃった?こっちは性格悪いからなあ。大手じゃあないんだろう?そのうち東大も気付くよ!心配しないだ!偶数次の方が簡単なんだよ。訂正が大変だよ。革命路線じゃあないよ。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/04/02 12:16 賢明なる諸兄の皆さん!高次方程式解法とは解集合と係数集合の集合間対応なのです。このような対応関係の分析に対し今日において概念分離を発動さすべき十全なる用具が用意なされているでありましょうか?真に大切なのは各種手法の開発なのであります!手法は2桁くらいにはなるでしょう。まず、数の拡大は数式のみに限定すべきかがあるのです。即ち、作用素問題がでて来ることも考慮せねばならないのです。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/04/02 12:25 例えば、函数定義に於いてさえ今甚だ広義の概念であります。途中に集合間対応が出て来ても函数定義には抵触しません。今回の手法は2基本対称式間の媒介変数変換の議論になるものと思われます。そして、パラメーター理論は微分方程式解法分野で充分議論すべきテーマなのです!

rikunorarikunora 2012/04/02 12:58 Naomasa Kobayashi さん。
正直なところ、書かれている意味が私には全く理解できません。
このコメント欄に書かれるよりも、ご自身のホームページ、ブログ等にまとめて記載された方が良いと思います。

Naomasa KobayashiNaomasa Kobayashi 2012/04/04 17:32 高校生諸兄に誤解があってはならぬので一言申し添えます。第一に私は善意的過ぎる。今日のパソコン・プログラム市場規模を想起されたい。第二に私は出身大学を喧伝し過ぎている。ファンクター・カテゴリー論は集合間対応の有効な武器である。第三に私は学問的過ぎる。由緒ある家柄と誤解される危険がある。本サイトの管理者の寛容さに感謝しつつこの辺りで打ち切ることにします。

henjin2henjin2 2013/08/08 15:58 はじめまして、変人と申します。非常にすばらしいですね。感銘いたしました。目標にしたいと思います。こねさんの事は存じております。正20面体のところ、おもしろく参考になりました。ありがとうございます。

rikunorarikunora 2013/08/09 14:02 ありがとうございます!正20面体に着目いただけて、うれしく思います。
記号の羅列で埋まりがちな代数の中に、幾何学的な形が見えると感動を覚えますね。
ところで、こねさんって。。。(´∀`;)

henjin2henjin2 2013/08/09 22:52 すみません、とねさんです。とねさんとは名前がリンの時お世話になり、層の概念の立役者岡先生について教えてもらいました。また、ご指導下さいますようよろしくお願い申しあげます。

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