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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2010-03-15

3囚人問題

3人の囚人、A,B,Cがいました。

この3人のうち、1人だけが恩赦になったのですが、

誰がなったのかは囚人に知らされないことになっていました。

囚人Aは、看守に

「BとCのどちら1人は必ず死ぬのだから、処刑される人を1人だけ教えてください」

と願い出ました。

看守は「Bが処刑される」と教えてやりました。

そこで、囚人Aは「最初、自分が助かる確率は1/3だった。

ところが今では、処刑されるのは自分かCかの1/2になった。

自分が死ぬ確率は小さくなったのだ!」

そう考えて、囚人Aは喜んだのです。

さて、この囚人Aの考えは正しいでしょうか?

先に答を言うと、Aの考えは間違っていて、Aが処刑される確率は当初の 1/3 のままです。

なぜ、そうなるのか? 直感的に考えてみましょう。

仮に、Aが処刑と全く関係なくて、BとCが 1/2の確率で処刑されるのだったとしましょう。

ここで「Bが処刑される」という情報が得られたなら、当然、

Bの生存確率0%、Cの生存確率100%になります。

次に、そこにAが加わったらどうなるか。

「Bが処刑される」という情報が与える影響がB,C2人の場合と同じだとすれば、

Bの生存確率が0%になり、その分だけCの生存確率が高まるのだと考えられるでしょう。

f:id:rikunora:20100315223156p:image

BとCとの間の関係は、Aが居ようが居まいが全く変化しないのです。

しかしなぜ、Aは無関係だと言い切れるのでしょうか。

それは、最初から看守がAについて答えないことがわかっているからです。

もし答える相手が秘密を守る看守ではなくて、

Aも含めた死刑囚の名前を全くランダムに答えるものだとしたら、結果は変わってきます。

例えば、死刑囚の名前が書いてある裏にした2枚の札の中から1枚を引いてくる、といった状況です。

1枚の札を引いてきて、そこに「Bが処刑」と書かれていたなら、Aが処刑される確率は 1/2 に下がります。

・看守の場合は、看守はAについて答えないので、Aについての確率は変化しない。

・2枚の札の場合は、札の中にAの名前が含まれている可能性があるので、Aについての確率は変化する。


囚人の人数を3人ではなく、100人にまで増やしてみれば、違いはもっとはっきりします。

f:id:rikunora:20100315223234p:image

* 答える相手が看守の場合、

看守は、Aに対して最大98人の処刑される人の名前を教えることができます。

もしAが98人の名前を知ったとすれば、恩赦に預かれる可能性が高くなるのは、

まだ明かされていない、最後の99人目です。

99人目の生存確率は99%にまで高まります。

しかし、Aの生存確率は、最初から1%のまま変わりません。


* 答を示すものが名前の書いてある札だった場合、

もし98枚目まで札をめくって、そこにAの名前が無ければ、

Aが処刑される確率は 1/2 にまで下がります。


* まとめ *

自分に関係のない、高みの見物で得られた情報によって、自分自身を変えることはできない。


この3囚人問題は、「モンティ・ホール問題」と呼ばれる問題とセットにして考えると、

もっとよく理解できることと思います。

モンティ・ホール問題については、こちらを参照 >> id:rikunora:20090423

もし、看守に答を聞いた後で、Aの立場と、残る1人の立場(C,あるいは99人目)を

交換できるのであれば、Aの生存確率は得られた情報の分だけ下がることになります。

残念ながら、囚人の場合には人間を取り替えることはできないので、

確率を下げることはできないというわけです。


※追記

ふと wikipedia:モンティ・ホール問題 を見ると、なんと、上と全く同じ解説が為されているではないですか。

思考パターンが全く同じ? まあ、わりと有名な問題なので、同じところに辿り着くのか。

言い訳をすると、以前「モンティ・ホール問題」というエントリーを書いたときには、

ウィキペディアにこの記述は無かったように思ったのですが、、、

ウィキペディアは進化するのだなあ。


※追記2

実はこのブログには「モンティ・ホール問題」というキーワードで訪れる人が少なくありません。

試しにググってみると現在3位に挙がっていました。ちなみに1位はウィキペディア

元のエントリーを見るとわかるのですが、>> id:rikunora:20090423

どちらかというと短く、内容も少なめの記事です。

なぜ、この短いエントリーに人気があるのか。

他にも、もっと力を入れて書いた長いエントリーだってあるのに・・・

そこでようやく気付きました。

「短いエントリーほど人気がある」ってことです。

内容がてんこ盛りのエントリーよりも。

Webというものの性質の一端を垣間見た気がした。


* 参考:新説受け入れ確率 >> id:rikunora:20081011


俄僅俄僅 2010/03/16 08:37 モンティホールジレンマといえば
http://d.hatena.ne.jp/NATROM/20050202
http://d.hatena.ne.jp/pashango_p/20090801/1249139419
http://d.hatena.ne.jp/kojette/20090804/1249388620
といった記事もありますので挙げておきます。

未だに理解できません……というのも少しアレンジされるとすぐに分からなくなるので、これって結果を覚えているだけだと思うんです。

rikunorarikunora 2010/03/17 10:23 これほど熱い議論が為されているとは、リンク先の記事、おもしろかったです。
確かに、確率の問題って直観ではなかなか当たりませんね。
上の説明も、実は後付けですし。
私はもう頭脳で正解に達するのはあきらめて、分からなくなったらパソコン上で試すことにしています。
シミュレーションこそ、ある意味頭を使わずに正解に達する早道だと思うのです。

jisterinjisterin 2015/07/24 11:19 >Aが処刑される確率は当初の 1/3 のままです
当初は2/3じゃないのですか?

jisterinjisterin 2015/07/24 11:19 >Aが処刑される確率は当初の 1/3 のままです
当初は2/3じゃないのですか?

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