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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2010-06-05

√に近い分数の作り方

627/362 という分数は、√3 と小数点以下4桁目まで一致する。

 627/362 = 1.7320441・・・

   √3 = 1.7320508・・・

590/223 という分数は、√7 と小数点以下4桁目まで一致する。

 590/223 = 2.6457399・・・

   √7 = 2.6457513・・・

どうやってこんな分数を見つけたのか?

実はこれ、私が見つけたわけではなくて、とある大学入試問題にあった方法なのです。

f:id:rikunora:20100606010434g:image

この問題を順番に解いてゆけば、最後には上のような分数が見つかります。

実は順番に解かなくても、最後の(4)さえ計算すれば、とりあえず答は得られます。

上の 590/223 という分数は、f(f(2)) を計算して求めました。

もっと根性があれば f(f(f(f(f(x))))) みたいにして、いくらでも精度の高い分数を作ることができます。

しかし、この入試問題を作った人は、どうやって最初の

f(x) = (8x+21)/(3x+8) という式を見つけたのでしょうか?

もしこれが √7 ではなくて、もっと別の数、例えば √3 で同じことをやってみろと言われたら、

√3 のための式 f(x) が作れますか?

以上は gbさんという方からコメントに頂いた質問です。

* いまひとつの連分数展開 >> id:rikunora:20090830

機械的に問題を処理しているだけでは決して出てこない、もっともな疑問だと思います。


この問題の核心部は、最後の(4) にある f(f(x)) という所に表れています。

ある関数 f(x) の結果を、再び f(x) に代入して f(f(x)) を計算し、

その結果をまた f(x) に代入して f(f(f(x)))) を計算し、・・・

・・・といった具合に、繰り返し f(f(f(f(f(x) を計算してゆくと、最後には何処にたどり着くのでしょうか?

その様子を描いたのが、下のグラフです。

f:id:rikunora:20100606010545p:image

グラフの上に、y=f(x) の曲線と、y=x という斜め45度の直線を描きます。

f(x) の結果を、再び f(x) に代入する、という操作は、

グラフの上では黄色い矢印のような動きになります。つまり、

・f(x)の値から横に線を引いて、斜め45度の直線にぶつかる点を探す。

・ぶつかった点から縦に線を引いて、f(x)にぶつかる点を探す。

といった操作になります。

この操作をどこまでも繰り返してゆけば、黄色い矢印の行き着く先は、

y=f(x) の曲線と、y=x の直線の交点に収束します。

ということは、あらかじめ交点が √7 となるように上手い具合に f(x) を調整しておけば、

繰り返し計算によって √7 の近似値が求められることになります。

これが、この問題に託された意図なのです。


グラフの形から分かるように、f(x) は 点(√7, √7) で、直線 y=x と交差していなければなりません。

また、実際の計算の手間を考えると、f(x) はなるべく単純な四則演算だけで済ませたい。

そこで、問題にあったような分数関数が考え出されたのでしょう。

このような分数関数で、点(√7, √7) を通るものは

  f(x) = (a x + 7 b) / (b x + a)  ・・・{a, b は適当な整数≠0}

といった形になります。

a, b に入れる整数は何でも構わないのですが、上のグラフで示した黄色い矢印が

できるだけシャープに√7に近づくような形にした方が、計算回数が少なくて済みます。

(できるだけ収束の早い関数を見つけたい、ということ。)

そのために思い当たるのは、

・lim[x->∞] f(x) = a / b が、√7 よりほんの少しだけ大きくなるようにしておく。

・√7 近傍での f(x) の値が、できるだけ変動しないような関数が望ましい。

こういった理由で、a = 8, b = 3 が選ばれたのだと思います。

8/3 = 2.6666・・・なので、√7 にかなり近い値となっています。

f(x) の変動の様子はどうなるか、f(x) のグラフを描いてみると、こうなっています。

f:id:rikunora:20100606010655p:image

√7 付近の様子を見ると、グラフがほとんど水平に近くなっています。

グラフの上に矢印を描いてみればわかるのですが、水平に近いほど収束は早くなります。

これが問題の (3) の意図なのです。

グラフの傾きを計算してみると、1回の計算で2桁の精度が出ることがわかります。

(つまり(2), (3) は微分して傾きを比較せよ、という出題意図なのでしょう。)


以上で、√N に近づく分数関数の作り方がわかるかと思います。

試しに √3 に近づく分数関数を作ってみましょう。

分数関数

  f(x) = (a x + 3 b) / (b x + a)

という形で、a / b が √3 より少しだけ大きくなるような数を選べば良いわけです。

a = 9, b = 5 を選べば、a / b = 1.8 となるので上手くあてはまりそうです。

  f(x) = (9 x + 15) / (5 x + 9)

この関数を使って計算すると、

 f(1) = 12/7 = 1.7142857・・・

 f(f(1)) = 71/41 = 1.7317073・・・

 f(f(f(1))) = 627/362 = 1.7320441・・・

確かに、√3にかなり近い値が得られました。


Web上を探したら、ここに似たようなことが載っていた。

 * 私的数学塾 -- 無理数を近似する分数

 >> http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fraction/fraction3.htm

もしかして有名問題なのか?


※ 6/16追記:このf(x)は、連分数展開から次のようにして作ることができます。コメント感謝!

f:id:rikunora:20100616112259p:image


※ 7/28追記:収束の速い分数近似式をどうやって作るのか?

271828さんより、ペル方程式に帰着する解法を教えていただきました。

* 271828の滑り台Log -- 無理数と連分数

>> http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/922e814742bf5e0de42d1de8ad061202

俄僅俄僅 2010/06/06 02:57 f(x)=(8x+21)/(3x+8) の導出を推測してみました。

x^2=7 から ax^2=7a から ax^2+bx=bx+7a から x=(bx+7a)/(ax+b)
f(x)=(bx+7a)/(ax+b) とおくと f'(x)=(b^2-7a^2)/(ax+b)^2
平均値の定理から |(f(x)-f(y))/(x-y)|=|f'(c)| となる c が x と y の間に存在する。
x,y≧2 から |f'(c)|=|(b^2-7a^2)/(ac+b)^2|≦|(b^2-7a^2)/(2a+b)^2|

b^2-7a^2>0 として (b^2-7a^2)/(2a+b)^2≦1/100 となる自然数a,bの組を求める。
整理して a/b について解くと a/b≧(-1+5√697)/352
(-1+5√697)/352≦(-1+5*26.5)/352=131.5/352<132/352=3/8
a/b≧3/8 だと十分で、a=3,b=8 は b^2-7a^2>0 をみたす。

a,b は小さい方が計算が楽なのでこれが有力候補ですね。

今回は |f'(c)|≦1/100 からa,bを決めましたが、
これが |f'(c)|≦1/1000 だと a=661,b=1751 ……かな?

このとき (2*b+7*a)/(2*a+b)=2.64529…
√7=2.64575…だから誤差が1/1000以下になっているのでこれでよいみたいです。

ROYGBROYGB 2010/06/06 14:11 >f(x) = (a x + 7 b) / (b + a)  ・・・{a, b は適当な整数≠0}
の部分は分母のxが抜けていて、
f(x) = (a x + 7 b) / (b x + a)
となるような気がします。

rikunorarikunora 2010/06/06 23:35 俄僅さん、
なるほどこのようにして最初に ≦ 1/100 とか、≦ 1/1000 といった形で条件を絞って、
その中から自然数の組を探せばよいわけですね。納得です。
これなら合格間違いなし(笑)
ROYGBさん、
xが抜けてました、ご指摘ありがとうございます。

gbgb 2010/06/07 16:11 参加してくださった皆さん。有難う御座います。

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127589436633316405790_index_gr_1_20100607160606.gif
をどうぞご利用下さって 広大の 函数の誕生秘話を
暴いてください。

そして 例えば
Sqrt[61]について広大に倣い 函数 f を 導出して ください!

gbgb 2010/06/07 16:15 http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127589436633316405790_index_gr_1_20100607160606.gif
を 必ずご利用ください。

gbgb 2010/06/07 16:25 なぜかlinkが上手くいっていないようで 代わりに;

http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&aq=0h&oq=&hl=ja&ie=UTF-8&rlz=1T4TSJH_jaJP367JP367&q=continued+fraction++sqrt%5b61%5d

gbgb 2010/06/07 16:27 continued fraction sqrt[61]
と Googleで検索し その連分数をお使いください。

rikunorarikunora 2010/06/11 01:07 ええと、√61であれば、小さめの数字で近いのは、
 f(x) = (8 x + 61)/(x + 8)
でしょうか。
 √61 = 7.8102496759066543941・・・
初期値を x=2 として計算を進めると、
(8 * 2 + 61)/(2 + 8) = 77/10 = 7.7
(8 * 77/10 + 61)/(77/10 + 8) = 1226/157 = 7.80892・・・
(8 * 1226/157 + 61)/(1226/157 + 8) = 19385/2482 = 7.81023・・・
(8 * 19385/2482 + 61)/(19385/2482 + 8) = 306482/39241 = 7.81024948・・・
連分数との関連性については、私にはよくわかりませんでした。

gbgb 2010/06/11 11:53 fx]=(232105 + 29718*x)/(29718 + 3805*x)でしょう

俄僅俄僅 2010/06/11 12:26 私は f(x)=(6104*x+61*776)/(776*x+6104) でした。

ちなみに先の論証は
f(√61)=√61 を用いて |(f(x)-f(√61))/(x-√61)|=|(f(x)-√61)/(x-√61)| から平均値の定理より |f(x)-√61|=|f'(c)||x-√61| …のようにやるべきでした。訂正しておきます。

連分数は
(6104*x+61*776)/(776*x+6104)=7+1/((776x+6104)/(672x+4608))=7+1/(1+…)
のように変形していけばいいんでしょうが、途中でマイナスがでるので分からなくなりました。

gbgb 2010/06/12 23:34 7から反復を開始したときの 比較;
Out[2]=
{7, 440131/56353, 26159626123/3349396909,
1554823538686759/199074754739677, 92412491871545834047/
11832207126056839081, 5492628868432021731104251/
703259062943389042357993, 326459889516538135481458096483/
41798905676935478247646511029,
19403469998797589488907965153667839/
2484359758517596148070507071877637,
1153264643174993418379271952354859775287/
147660406649050750333654136571765743761,
68545437351152378813587997249071410757625971/
8776343932077340155348663409349975818056433}

Out[3]=
{7.`18, 7.810249676148563519244760704770083`18,
7.810249675906654394061244414865333`18,
7.810249675906654394129722735733273`18,
7.810249675906654394129722735828013`18,
7.810249675906654394129722735739686`18,
7.810249675906654394129722735753964`18,
7.810249675906654394129722735825075`18,
7.810249675906654394129722735854457`18,
7.810249675906654394129722736004657`18}
-----------------------------------------------------------------------------
Out[6]=
{7, 5629/721, 2140271/274034, 3254485951/416694229,
2474376266803/316811416987, 940630561470692/
120435402260243, 1430317393575995827/183133376387222533,
1087466179690840271881/139235776680161193949,
413398696430156228010359/52930279259243624338886,
628611667753153727185092379/80485476628528039487574841}

Out[7]=
{7.`18, 7.807212205270457697642163661570636`18,
7.810238875468007619492471737058513`18,
7.810249637510578530234456402781446`18,
7.810249675770154602051516375177488`18,
7.810249675906169131175821763686691`18,
7.81024967590665266899790501298492`18,
7.81024967590665438799680085371663`18,
7.810249675906654394107919920169572`18,
7.810249675906654394129645225769351`18}

何れが 速い?

俄僅俄僅 2010/06/13 00:07 gbさんの式が速いですね。しかも√61を挟む形で推移してます。かっこいい式だと思います。ペル方程式とか関連の知識もかなり詳しいのではないかと思うのですが……うーむ。

rikunorarikunora 2010/06/13 12:48 いやはや、恐れ入りました。数の小さい方から適当に探すのではなく、何か系統立った方法が必要ですね。

gbgb 2010/06/14 00:43 果てし無き 旅 へ;
526, 527, 528, 530, 531, 532, 533, 534}---Sqrt--->
{Sqrt[526], Sqrt[527], 4*Sqrt[33], Sqrt[530], 3*Sqrt[59], 2*Sqrt[133], Sqrt[533], Sqrt[534]........}
     等 の それぞれについて
◆ 廣大の函数f に相当する 函数 の 導出 ◆ を、 遊び心で、お願い致します;
f(Sqrt[526])=Sqrt[526](不動点)   f[x]=



f(Sqrt[534])=Sqrt[534](不動点)   f[x]=

そして 各 かっこいい 函数 f について 廣大に倣い問達(1),(2),...の作問をも;

samui_samui_ 2010/06/14 05:16 √7の連分数は
√7=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1...]
と続くのでこの近似として
√7≒[2;1,1,1,4]を採用して、関数として
f(x)=[2;1,1,1,x+2]を利用するとf(2)≒√7になる事を利用したのではないでしょうか?
見当違いだったらすみません。

俄僅俄僅 2010/06/14 22:32 なるほどー
√33=[5;1,2,1,5,1,2,1,5,...](という書き方で良いのかな?)だと
f(x)=[5;1,2,1,5+x]とすることで、f(x)=(23x+132)/(4x+23) が導けるんですね。
連分数は名前は知っていても使い方はさっぱり知りませんでした。ありがとうございます。

samui_samui_ 2010/06/15 00:35 √31ならf(x)=[5;1,2,1,5+x]は微妙です。
f(f(x))=[5;1,2,1,(5+5),1,2,1,5+x]なので()で囲んだ部分が√31と一致しません。なので、より良い近似をするならf(x)=[5;1,2,1,x]とするべきではないでしょうか?こうするとf(f(x))=[5;1,2,1,5,1,2,1]となるので良い近似を得るはずです。

俄僅俄僅 2010/06/15 02:20 あ、すみません。
計算したところ √33=[5;1,2,1,5+√33] だったので、
√33=[5;1,2,1,10,1,2,1,10,...] ですね。
間違えてました。

gbgb 2010/06/15 10:44 http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=5%2C1%2C2%2C1%2C10%2C&sort=0&fmt=0&language=japanese

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127656606684416222316_index_gr_1_20100615104106.gif

rikunorarikunora 2010/06/16 11:34 連分数から関数を作る方法、ようやく理解しました! 上に図を載せておきました。
こういうことだったのですね、気付いてみると悔しいなあ。コメント頂いた皆さん、感謝です。
あと、連分数は正則なもの(分子が全て1に揃っているもの)にこだわらなければ、いろいろな展開の仕方があります。
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20090830/
ということは、この分数関数もいろいろ作れるということですね。

271828271828 2010/07/09 03:37 rikunoraさん
私もgbなる人物から全く同じコメントを受け取りましたが
ここの議論を思い出してマルチポストに気がつきました。
当然、出入り禁止にしました。
初等的かつセンスの良い解はブログで紹介しました。

一般的に、方程式f(x)=0はどんな方程式であっても
x=F(x)に変形できます。
例えばx^3=10では
両辺に2xを加えて3で割ると
x=(2x+10/x^2)/3
が得られます。「いい加減法」のように見えますが
ニュートン法そのものです。
x=0から出発すれば3回の操作で小数点以下2桁まで求まります。

271828271828 2010/07/09 05:20 訂正!

「x=2から出発すれば」です。

rikunorarikunora 2010/07/13 17:43 271828さん
ご忠告ありがとうございます。
この問題は結局のところ「ニュートン法そのもの」だと思います。
gbさん、とりあえずあちこちのサイトに投稿するのは止めにしましょう。
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/3a0022518b64ba9deb054c588d3c3b11
http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/2008/07/post_596a.html

gbgb 2010/07/13 22:48 http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127902199252216305849_index_gr_3.gif
と 上の 行 で fの 導出を 理解 され た 証を 以前に 残されて おられるましたね!

 私が blog を 訪問し 数学的センス 抜群で 心から 尊敬している 
      271828(は自然対数の底に由来) 氏 が
 稀に見る 誤解 に 基づいた  コメントを よせられて いる のを知り

     あなたが、271828様 の 大きな 誤謬を 
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127902199252216305849_index_gr_3.gif
   の 下の 如く記載 されておられるをみて、愕然と致しました。
-------------------------------------------------------------------------------------

<< tonagaiさんの回答を引用します。

f(x) = (ax+b) / (cx+d) =x で、a,b,c,dが全部自然数とします。
これがある平方根ωを表すにはx={(a-d)±√((a-d)^2+4bc)}/(2c)
だからa=d, ω=√(b/d)であればいい。
また|f(x)-f(y)| < |ad-bc| |x-y| /|(cx+d)(cy+d)| から近似をうまくしようと思うと
|ad - bc|をできるだけ小さな自然数にしておけばよくて、
√7の場合はb=21,c=3, a=8にできます。このとき|ad-bc|=1。
√2も|ad-bc|=1にしようと思うと
f(x) = (3x+4) / (2x+3)
√109なら|ad-bc|=4でいいなら
f(x) = (261x+2725) / (25x+261)
でどうでしょう。

私はメモ用紙を取り出して解法の筋道を追いました。初等的で実に明解です。
『ファインマンさん 力学を語る』で、初等的な証明には知識は必要ないがセンスが必要と書いてあった。>>

  此の 271828様 の blogを 熟読され こんどは 貴方が メモ用紙を取り出して、検討され、
       271828様 の 大きな 誤謬 に 気づかれるに違いない。
それまで なんと云われようと 沈黙し 耐えよう と 自重して おりました.............

ところが   連分数を用いての 導出を 理解 され た と 記載された にもカカワラズ;
 
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127902199252216305849_index_gr_3.gif
            の 直上のように
271828さん  ご忠告ありがとうございます。
この問題は結局のところ「ニュートン法そのもの」だと思います。

なんて 記載されたのを読ませていただき、まだ 理解不足だと 残念でなりません。

(samui_ 様2010/06/14 05:16 と 俄僅 様 2010/06/14 22:32 は 理解されておられます!!!)
---------------------------------------------------------------------------------------------
   ◆ せめて もう3問位 連分数を用いての 導出をされ
 271828様 が ご自分の誤謬 に お気付きになられるように 解説を加えて下さい。
【271828様は固執される方ではなく、柔軟なお考えで日々を過ごしておられることは
blogを毎日読ませていただき わかっております】◆

一問目は 
http://blog.goo.ne.jp/slide_271828/e/8f3e5de715fb4c6f9238fd9ee125f63d
   の コメント欄 に 私が 丁寧に 記述した Sqrt[5] について、
連分数展開をされ、f[x]を 導出なさって、「ニュートン法そのもの」ではない証を記載して下さい。

他の blog に 素晴らしい センスの在る解答を寄せられている 俄僅 様 にもお願いします。

他は ご自分の なさりたい  Sqrt[d] 達 で よいのですが
Sqrt[19],Sqrt[73] あたり が 愉しい 筈です。

Sqrt[19]の連分数展開をされ、f[x]=___________.

Sqrt[73]の連分数展開をされ、f[x]=___________.

以上を為されたら「ニュートン法そのもの」ではないことは、十二分に、ご理解いただけますので

    ★ 連分数展開に拠ると 271828様に お知らせを お願いします。

271828様は 此処を頻繁に 訪問されるので 271828様の 解答をも 此処に記していただきたい。

        以上 臥して お願い申し上げます。

  271828様が  初等的かつセンスの良い解はブログで紹介しました。と 
    『ファインマンさん 力学を語る』を 引用までされ
   褒め称えられた  tonagaiさんの回答 も 間違いで ある ことを も。
    (お二方は 連分数絡み と 明記しているにも かかわらず、
       全然、連分数を考察されておられないで 
何故 あの様な 言いまわしされる のか不可解です)

      どなたにも、ハンドルネームを 変えず、略 同じ 拙い 文面 で
背景を隠匿せず、 連分数絡み と 明記 し 導出の 愉しみを お願い致しました。
(これを 悪質で許しがたい と 認識されておられますか?)

推敲不足の拙い文章をお詫び致します。

gbgb 2010/07/14 05:03     只今   激しい  雨音がする 午前4時30分 を 過ぎました が、

(昨年は防府の大水害がありました。遠泳に参加した翌日で、日にちが前後していれば
        遊泳どころではありませんでした)

直前の投稿に対して 直ぐ 私に対する  罵詈雑言 の 言葉 

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127904853750416221186_index_gr_2_20100714041537.gif
     
(中には品質の良くない商品がある 等等)  を

 考え 世界 に 晒して も 有益ではありません。 私は 無論 無益な 諍いは 好まない ので
   追記 し (非礼な箇所はないかと 3度推敲し)  眠ります。

(第三者としての 客観的な 正しい レフリー を  俄僅さん  にも お願いしております)

http://www.youtube.com/watch?v=9TUuqVEKj2I

実際 連分数展開し! f を 導出され! 客観視 なさる!  迄..待つわ.
   《何時までも待てません。数日なら生きているフリをし 待てるでしょう≫

    品質の良くない商品がある等まで 云われ 
▽ 非が私に∃するのであれば   死んで お詫びを とも 考えましたが
死んで詫びても通じそうになく、n度目の連分数展開をお願いした次第です。

gbgb 2010/07/14 05:32 追追記;    諍いじみたことを世界に晒すのも ナンですから
貴方のメールアドレスを 此処に 一時的に 記していただけないでしょうか?

と申しますのは ◆ 貴方が ガロア理論に造詣が深い 探求者 で あられるようなので
   我が 愚問 を 提示し 今後、援助交際を セツに 願いたい から です。

俄僅俄僅 2010/07/14 12:54 ・ニュートン法の件
変形によりニュートン法の式になる場合もありますが、いつもそうなるわけではないでしょうね。
たとえばこの記事で挙がっている (8x+21)/(3x+8) の式はニュートン法から導出できるのかは疑問です。
分子分母の次数が等しいので、私は懐疑的に思っています。

逆に (2x+10/x^2)/3 の式は連分数から導出できるのかというと、それも無理でしょう。

いい加減法ならばどちらも導出できる!と言うこともできますが、
むしろ、ニュートン法や連分数など(他の方法もあるかも?)から導出した式が、
目的の値に収束するかを確認する計算……を、逆順に書いたものが「いい加減法」の正体だと思いますー。


・tonagaiさんの解法の件
解法と言うより例示ですかね。
結果を与えられてそれを検算するのは簡単ですが、自分で求めるのは大変です。


・gbさんのマルチポストの件
マルチポストとは、似たような文面でたくさん書く、内容が関係ない所にも書く、という行為です。
この定義だとgbさんのコメントはまさにマルチポストです。文句言われてもしょうがないですね。

私としては理由が合ってのことだと思いますし、今のところ別に糾弾したいとは思いません。

連分数の件はおもしろかったので返事をしましたけど、興味が無い分にはスルーです。
で、現在スルー状態だったわけかと。

gbgb 2010/07/14 15:15 (第三者としての 客観的な 正しい レフリー を  俄僅さん  にも お願いしております)
      に 即座に 応えて いただき 有難う御座いました。
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127908513066916119642_index_gr_2_20100714142530.gif
    俄僅 2010/07/14 12:54  様 重ねて お礼を 申し上げます。

大学で 講義されて おられる 複数の 教授 に 略 同じ 拙い 文面 で メール で 
質問して 何人かの 方から 連分数 で 丁寧な 導出を していただきました。その内の2例;
http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/000/127908681333416316058.gif
(お二方からは PDF Fileで 3ペイジに及ぶ コメント入の メールをいただき 欣喜雀躍しました)

rikunorarikunora 2010/07/15 03:08 こんばんわ。私、rikunoraへの直接の連絡は、以下のURLからどうぞ。
http://brownian.motion.ne.jp/mail/hmx.cgi
話がややこしくなりそうなので、いましばらくの間、ここへのコメントは控えようと思います。悪しからず。

gbgb 2010/07/15 03:56 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
 そうですね。一行の短文でも 連分数を用いての導出をされた後の文面と 読み、
           全てを  心底 理解致しました。
         無用な 諍いの 場 では ありません のでね。

導出され ご理解いただけたら アビセラレタ 言葉達は 聞かなかった ことに 致します。
           ( そういう 性格で  す)

(アドレスは 控えましたので 消された ほうが よいでしょう。
      或いは@を atに置換するとかしないと
     迷惑メールが 世界から 独逸語 Russia語 イタリア語等 で  送付されます) 

★★★ しかし コメントは不要で、fの導出(Sqrt[5]等)は 必ず 記載 願います ★★★

( ニュートン 法 ではない 導出を 知る権利を行使したい方が ∃ し、覗かれるので)

271828271828 2010/07/28 06:48 rikunoraさん おはよう

例の廣大の関数はペル方程式に帰着されることが分かり、記事にしました。√5は9^2-5・4^2=1という最小解から簡単に求まります。具体的には
x=(9x+20)/(4x+9)
です。

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