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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2011-05-18

君はエントロピーって言葉を知ってるかい?(2)

まどか☆マギカエントロピー」、第2回ができました。

>> http://brownian.motion.ne.jp/mami/2nd/ (要 Flash 10以降)

今回のテーマは「統計力学エントロピー」。

まどか☆マギカ」とは、今年4月まで放映していた魔法少女もののアニメのこと。

話の中にエントロピーが登場する、というのが、そもそものきっかけだったのです。

・・・で、内容は Flashの方を見てもらうことにして、

ここでは Flash中で説明し切れなかった「計算はちょっと大変」のところを補足します。

問題:

M円のお金をN人に分ける場合の数をひたすら数え挙げたとき、

最も場合の数が多くなるのは、どんなときか?

この答はよく知られていて、「ボルツマン分布」と呼ばれる形になります。

f:id:rikunora:20110518115258p:image

それでは、なぜ「ボルツマン分布」といった形になるのか?

幾つかの導出方法があります。


1.ラグランジュの未定数法を使って計算する.

 ・統計力学に挑戦〜 Boltzmann分布〜(.pdf)

  >> http://zatsudankagaku.web.fc2.com/seika/091209.pdf

    from 雑談化学サークル >> http://zatsudankagaku.web.fc2.com/

 ・ラグランジュの未定乗数法のイメージ >> id:rikunora:20110210


2.図を描いて直感的に理解する.

 ・指数分布の理由

  >> http://brownian.motion.ne.jp/11_WhyPPMisImpossible/08_ReasonForExp.html


3.とにかくパソコンで試してみる.

 ・100人の村でランダムにお金を交換したら?

  >> http://brownian.motion.ne.jp/memo/Binbou.php


今回は、さらに4つ目の説明を付け加えようと思います。

4.組み合わせを考えて => スターリングの公式.

具体的に、A,B,C,Dの4人に、9個の玉が配られた状況を考えます。

f:id:rikunora:20110518115338p:image

・まずAの玉を一番左に一列に並べます。

・次に、AとBの境目がわかるように、1個の青玉を置きます。

・青玉の後に、続けてBの持っている玉を並べます。

・以下、同じようにして、青玉で区切って全員の持っている玉を一列に並べます。

すると・・・玉の配り方というのは、結局のところ

 「赤玉+青玉の長さの列の中に、青玉を置く組み合わせの数」

だということに気付きます。

つまり、

 組み合わせの数 = (M + N - 1)! / M!(N - 1)!

となります。

次に、スターリングの公式

 N! = (N / e )^N

という近似を使って、階乗!を指数に置き換えます。

このとき、- 1 は、M,Nに比べて非常に小さいとして、省略。

置き換えた結果は

 組み合わせの数 = (M+N / M)^M・(M+N / N)^N

これで組み合わせの数は

 ・Mの指数に、ほぼ比例する

 ・Nの指数に、ほぼ比例する

ということがわかります。

いま、N人の中の1人、仮にAさんがx円持っていたとすると、残りのお金は(M - x)円です。

Aさんがx円持っている組み合わせの数は、

残る(M - x)円を、(N - 1)人に配った組み合わせの数と同じになります。

そこで、Aさんの所持金xを横軸に、組み合わせの数を縦軸にグラフを描いてみると、

それはNに対する指数となり、ボルツマン分布の形になる、というわけです。


※ちなみに、この「玉を一列に並べる」というアイデアは、久保亮五の教科書に載っていたものです。

※上の計算はてきとーにはしょっているので、詳しく知りたい人は教科書を見るか、自力で考えるべし。


なる・Aなる・A 2011/05/19 16:22 相変わらず素晴らしい仕事ですね。全画面で文字も読みやすくできましたし、後は声優さんを雇うだけですね。
お金の話が出ましたが、広い意味でお金もエネルギーも通貨なのかもしれませんね。

rikunorarikunora 2011/05/21 00:55 ありがとうございます! ここまで来たら、声も付けて、行けるところまで行ってみたい。
実際、お金とエネルギーには似たところがあって、経済でのエントロピーを唱える人も少なからずいます。
たくさんの数字が動くと、そこに自ずと傾向が表れる、ということなのだと思います。

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