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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2011-11-11

理系と一般人の最大のギャップ

今から書くことは、理工系の人にとっては当たり前過ぎて話題にすら上らないのに、

そうでない人にとってはひどく理解に苦しむ、「理系と一般人の最大のギャップ」についてです。

それはずばり、

 「方程式を解く」

という言葉の意味です。


まずは有名な例を挙げてみましょう。

アインシュタインの宇宙方程式

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この「方程式を解く」と、「シュヴァルツシルト解」などという答が出てきたり、宇宙の過去と未来の姿が予想できたりします。

シュレーディンガー波動方程式

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この「方程式を解く」と、原子や分子の形がわかったり、物質の性質(物性)が言い当てられたりします。。。


「そんなのあたりめぇじゃね〜か!」

はい、そう思ったあなたは理系人間ですね。もうここから先は読む必要ありません。

でも、(私が知る限り)たいていの人の反応は少し違っています。

「宇宙に、波動、だと?! こいつ、頭湧いてんじゃね〜か!」

・・・そこまで露骨に言う人も希ですが、とにかく、こういった「方程式を解く」プロセスに違和感を覚える人は少なくありません。

なぜ、方程式から宇宙のことがわかるのか? きっと自分には理解できない何かがあるに違いない。。。

そういったわけで、「方程式を解く」という言葉に対する反応が、理系と一般人を隔てるギャップを形作っていると思うのです。

実際、いわゆる理系の論文では、本当に大事なことは方程式の中に書かれています。

なので普通の人から見れば、一番大事なところが「方程式の壁」に阻まれていて、納得のゆく理解にはたどり着けません。

本当に知りたかったら数学を勉強し直せ、みたいな感じ。これでは取り付く島も無い。


それでは、理系人がイメージする「方程式を解く」とは、どういったものでしょうか。

私が思うに、それは

 「答が線で出る」

というイメージです。

一方、普通の人が考える方程式は、

 「答が点で出る」

というイメージだと思うのです。

どういうことかというと、

 「答が線で出る => 答は関数の形になる => 関数方程式

 「答が点で出る => 答は数字の形になる => 代数方程式

ということです。


私がこう思うようになったのには、ちょっとしたきっかけがあります。

それは例によって、数学は役に立つのか、という話題からでした。

とある友人が言うには、「どんなに数学を一生懸命やったって、やはり世の中とはずれていると思う。

たとえば野球のボールの落下地点を計算しようとしても、そこにはボールの回転や、風の動きや、

ピッチャーやバッターの心理、、、などなどが無数に絡み合っていて、絶対に正しい答なんて出るわけがない。」

そう言われて、ふと思ったのです。

友人の考えている「答」とは、ボールの落下する、ただその一点の数字のことなのではないかと。

だとすれば、友人の主張はあながち間違ってはいません。

それでも、この友人は1つ勘違いしています。

数学の答は必ずしも一点の数字だけではなく、傾向を示す線である場合もある、ということです。

もし、様々な要因が絡む元でボールの落下地点を予測せよ、と言われれば、、、

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答はこんな風に、確率密度の「線」として表すこともできるのです。

「線」がわかれば、この辺で待ちかまえていればボールがキャッチできそうだとか、

この辺にはボールが来そうにない、といった対策が立てられるわけです。

 ・点の答は、絶対の正解にはたどり着けない。

 ・線の答は、ある一定の傾向を示している。

これが友人と私の、「答」にまつわるイメージ・ギャップではないかと思ったのです。

答が「線」になる、ということさえわかれば、あの「数学の答はただ一つ」という教義が無意味であることに気付くはず。


では、なぜこんなイメージ・ギャップが生じたのか。

それは、少なくとも中学校までの方程式は、全て「点」で答が出てくるからだと思うのです。

# 高校はどうなっているかと思って調べてみたら、今時の高校では微分方程式は教えないらしい。

# 私が高校の時にはあったぞ、もうずいぶん昔の話だけれど。

中学校までの方程式のイメージって、およそ次のようなものでしょう。

わからない数をxと置いて、式を立てる。

あとは機械的な規則(公式とか)に従って変形すれば、答が出てくる。

「太郎さんが100円持って買い物に行って、りんごを3個買ったら、おつりが10円だった。りんご1個はいくら?」

 100−3x=10  ・・・これが方程式

 100−10=3x  ・・・あとは機械的な変形

 90=3x

 90÷3=x

 30=x    ・・・答が出た!

基本、こんな感じ。

あとは式が長く複雑になってゆくだけで、数学の勉強とは、ひたすら式変形の機械的な規則を覚えること。。。

・・・こんなイメージが植え付けられていると、方程式を解いて「線」の答が出てくる、といった発想が浮んでこないわけです。


「点」の方程式と、「線」の方程式の間には、解き方の上で1つ大きな違いがあります。

「点」の方程式の場合、式変形の規則とはつまるところ+−×÷の四則演算処理のことです。

# あと、冪乗X^n(エックスのn乗)だとか、冪根 √(ルートとか)が出てくることもある。

なので、方程式

 ・足し算が出てきたら、その反対の引き算を、

 ・かけ算が出てきたら、その反対の割り算を、

 ・冪乗が出てきたら、その反対の冪根を、

施していけば、いずれ答にたどり着く。

 (たどり着けないこともある。そういう方程式代数的には解けない。)

ところが「線」の方程式には、四則演算とは全く種類の違う、新たな一組の演算が登場します。

それが「微分積分」なんです。

「線」の方程式に、

 ・微分が出てきたら、その反対の積分を、

施していけば、いずれ「線」の答にたどり着く。

 (こっちもたどり着けないことがある、というか、たどりつけないことの方が多い。)

そんな仕組みになっているんです。

微分積分って、何のためにやるんだろう?

それは「線」の方程式を解くためです。(別の目的にも使えますが、中心となるのは方程式です)

ちょうど「かけ算方程式」を解くために、かけ算九九を覚えるのと同じように、

「線」の方程式を解くための道具として微積分があるのです。

(だから、微積分だけ覚えて終わりにすると、苦痛なだけで何のためにやったんだかよくわからないってことになるんです。

 今の高校がそんな感じ?)

そして、いままで「線」の方程式、と言ってきたものは、一般には「微分方程式」と呼ばれています。


それでは1つだけ、最もシンプルな「線」の方程式を解いてみましょう。

ニュートン運動方程式、物体の自由落下について。

物体の垂直位置を x、水平位置を y、時刻を t として、運動方程式を立ててみる。

垂直方向:

 m d^2x/dt^2 = - m g    ・・・これが運動方程式

 (物体の位置を時刻で2回微分したものは、物体にかかる重力に等しくなっている)

 dx/dt = - g t + C1     ・・・方程式を解くために、両辺をtで積分します

 x = - 1/2 g t^2 + C1 t + C2  ・・・もう一回、両辺をtで積分、これが「線」の答です

水平方向:

 m d^2y/dt^2 = 0    ・・・これが運動方程式

 (水平方向には、全く力がかかっていない)

 dy/dt = C1     ・・・方程式を解くために、両辺をtで積分します

 y = C1 t + C2  ・・・もう一回、両辺をtで積分、これが「線」の答です

でもって、この答の x と y をグラフに描いてみると、「放物線」という形が浮かび上がるわけです。

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式の細かい意味がよくわからなくても、

 ・微分を含んだ方程式を立てて、

 ・それを積分すると「線」の答が出てくる、

という雰囲気が伝われば、それで十分。

なぜ物理では「力学」をまっさきに取り上げるのか。

それは、「方程式を解く」ことの意味が一番はっきりわかる題材だからです。


最初に挙げた、アインシュタインの宇宙方程式も、シュレーディンガー波動方程式も、実はある種の微分方程式なんです。

方程式の複雑さは自由落下の比ではありませんが、とにかく積分して解きさえすれば、答の「形」が求まります。

例えば宇宙方程式の場合、答は「線」ではなくて、四次元時空の歪み、言うなれば「体」になるわけです。

それでも大事なのは、答が一点の数字ではなくて、ある種の「形」である、というところです。


以上のことは、最初に断ったように理工系の人にとっては当たり前なので、いまさらどこにも書いてないと思うのです。

その一方で、方程式などというものに縁のなかった人にとっては、下手すると一生知らずに終わることかもしれません。

方程式を解く」とは、どういうことなのか。

このギャップが埋まれば、数学恐怖症も多少は緩和されると思うのです。


「線」の方程式って何だ? と思った人には、この本が役に立つかも。

とんでもなく役に立つ数学

とんでもなく役に立つ数学

kafukakafuka 2011/11/12 16:44 おじゃまします。
あと、極限を理解してない人も多いですね。
よく、某TVの「特番」で、UFOか何かについて、99.99999、、、% ないかも知れないが、
0.0000、、、1%可能性があるとか、平気で言ったりしますw
(0.9999,,,=1 は、極限以前の問題ですが)
真面目な話、高校で微積を習うのに、高校物理では、微積を使いません。
これは、宝の持ち腐れ です。
物理で、微積を使わなかったら、おっしゃるように、
「線の答え」という発想は、生まれない と思います。

rikunorarikunora 2011/11/15 00:59 kafkaさん、こんにちわ。
ブログの方、実はときどき拝見しています。今後ともよろしくお願いします。

高校の物理に微積が無い、というのはひどく中途半端でもったいない。
実はかなり多くの人が、宝の持ち腐れになっているように思うのです。
あともう一歩だけ前進すれば、広い世界が開けているのだと言いたい。

T_NAKAT_NAKA 2011/11/15 05:37 実際の科学では、A 説と B 説が在って、未だどちらとも言えない場合が多く存在しますが、中学までの数学や理科というのは、正解というか唯一の答えがでるものが多いですね。理系に進まなかった人達の科学に対するイメージは、この中学までの理系分野の影響が強くて、「必ず白黒付けてくれる」というものだと感じているのではないでしょうか?。なので、昨今の放射能の影響について学者が色々な立場で見解を表明するのに戸惑っているかも知れません(私から見れば低線量被曝の疫学的データが少なすぎるので、こういう状態は当たり前だと思うのですが)。科学で問題にするものは因果関係がはっきりしているものという誤解もあるんでしょうね。実は因果メカニズムの詳細が分からなくても、統計的相関関係から因果関係があるだろうとの見切り発車的な学説も多くあります(生物学研究などではそういう方法論以外に方法がない場合もあります)。また、測定誤差などが必ず存在して、計算式通りには行かないことも色々経験しているのですが、そういう事情も一般の人に分かり辛いでしょう。まだまだ厚い壁があるようです。

ghsoboghsobo 2011/11/15 06:28 はじめまして
ghsoboと申します。よろしくお願いします。kafukaさんのつづきですがスカラー的に言ってしまう人も多い。
一般の人とのギャップはもう少し手前というか数式アレルギーがありますね。啓蒙書では数式出されると売れなくなるとかで出ていません。そのため例えや比喩使うので誤解される。実は数式あると分かりやすくなり、イメージしやすくなります。そのことを分かっていただきたい。と思いますね。

とねとね 2011/11/15 13:19 僕が勤務している職場はrikunoraさんもご存知の外資系ソフトウェア会社ですが、数名の同僚に「2次方程式の解の公式」を覚えているかどうか聞いてみたところ5名聞いてもひとりも正解がいませんでした。。。rikunoraさんの職場ではいかがでしょう?正解の人には「万有引力の公式」も尋ねてみるといいかもしれません。
僕の周りにいる「一般の人」はこのような感じです。

以下の記事中に書いたような「非理系の強者」も世の中には10%くらいの確率でいそうな気がしています。

Newton (ニュートン) 2011年 12月号: 光速 c の特集
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/0ec8de1d9806054a04406853918710d7

hirotahirota 2011/11/15 14:02 点が分からん人も多いんじゃないかな?
この前、弟にマイクロシーベルト/hをミリシーベルト/年に換算する方法を教えた時は、こんな事も説明せにゃアカンのか!と愕然とした。

kabukabu 2011/11/16 10:20 はじめまして、理系人間(数学)です。

確かに、「方程式を解く」という言葉は当たり前に使われている割に曖昧に教えられてますよね。
理系人間は、勉強を進めるうちに、その意味の真髄に近づいていき、
一般の人は、初期の「点の答え」で終わってしまうのでしょうかね。


「解く」とは、(個人的解釈ですが。。。)
[与えられた情報]から[知りたい情報を取り出せる形]に変形させてやること
と理解してます。

「方程式」は[要素同士の関係性を数学という形式で記述した情報]であるので、
「方程式を解く」とは、[知りたい関係性がわかる形に変形する]ことである。(形の答え)


ちなみに、
(線の答え)
[知りたい関係性]の一部でよく使われるもの
[ある要素と他の要素との関係性](X=2Z+3,Y=Z+W+5 的な物)

(点の答え)
2次方程式などのように
[ある要素と他の要素との関係性]が、全ての要素がたまたま定数としか関係がなかったもの(X=5,Y=3)

学校では、点⇒線⇒形と教えて行くのでそういった違いが出るのでしょうね。

rikunorarikunora 2011/11/16 16:01 なんか、予想外の反応を頂いて驚いています。
T_NAKA さん、おっしゃる通り「科学が必ず白黒付けてくれる」というのは誤った誇大広告です。
たぶん、科学の名を語って強引に言い切ってしまうような人たちが、この誇大広告を作っているのでしょう。

ghsoboさん、「実は数式あると分かりやすくなり、イメージしやすくなります」実際、その通りです。
私も初めは「数式ではなくて、わかりやすい言葉で説明してくれよ」とずいぶん思ったものですが、
結局は数式の方がシンプルでしっくりくる。

とねさん、以前職場で、平面上の2点間の距離(ピタゴラスの定理)を聞いたら、知っていたのは半分くらいでした。
職場にもよるのでしょうが、まあ、実際そんなものだと思います。
「非理系の強者」は、さすがに会ったことないですが、特定の分野でかたくなな人はいます。
他のことに関しては至極まっとうだけれど、進化論だけは信じていないとか。

kabuさん、
 [与えられた情報]から[知りたい情報を取り出せる形]に変形させてやること
なるほどです。
私が点、線という言葉で言いたかったのは、正に[知りたい関係性が取り出せる]ということです。
点⇒線⇒形と上がっていった人には、こういうセンスが身に付いているのだと思う。

hirotaさん、「点が分からん人も多いんじゃないかな?」
・・・実際そうなのかもしれません。
ただ、あまり理系ばかりヨイショするのも一方的なので、反対に私が全く知らない常識といったものを考えてみました。
そうですねえ、、、例えば、私は「おしゃれな服の買い方」については、全くわかりません。
きっと知っている人から見れば、こんな事も説明せにゃアカンのか! と驚かれてしまうことでしょう。
なので、私が方程式の解き方を教えるから、代わりに服の買い方を教えてもらうってことで、
ギブアンドテイクが成り立つと思うのです。

hirotahirota 2011/11/17 13:03 知識の多少は理系文系に限らないと思いますが、考え方の違いはどうですか?
先日教育TVでスピノザの幸福論とかをやってまして、「乗り物に乗ってきた人は歩いて上った人の見る朝日を見ることは出来ない。」etc.とか言ってて、結論は「幸福は本人の受け取り方次第」でしたが、ソレを見てた僕の突っ込みは「歩いて上った人は客観的な朝日ではなく、自分の達成感などの感情をかぶせた色眼鏡の朝日を見てるわけだから、客観より詐欺に騙された方が幸福だと勧めてるんかい?」ですが、これって理系に共通ですかね?

kafukakafuka 2011/11/18 15:18 >hirotaさん
なるほどです。
幸福感、達成感 とうのは、脳内の「エンドルフィンの濃度と、
受容体の数」の関数(値はスカラーではない。テンソル?)でしょうから、
騙された方が幸福という場合もある と思います。
この関数から言えば、覚醒剤や麻薬を打ち続けられる環境の人は、
最大の幸福を得ている
ことになります。
まぁ、こういう思考の指向(客観的に分析したがる)というのも、
かなり、理系に共通すると思います。

kafukakafuka 2011/11/18 15:54 ↑で「幸福の関数」なんか定義したのは、単に僕がひねくれてるだけです。
理系の人が、みんな そんな風に考えるわけでは ありません。
誤解されませんよう、お願いします。

FutamiFutami 2011/11/20 15:58 初めまして、ふらっと立ち寄った者です。

この記事を読み思ったのは「方程式を解く」ということに対して、
求めるものの違いが差やギャップになるのではということです。
私を含め、数式を苦手とする人にとって方程式を解くことは「点」を求める行為だと思います。
方程式を解くことで「線」や「体」の答えを知ることを必要とする、楽しめる場合でなければ、
例えそこに「線」や「体」の答えが見つかったとしても、それは困惑のもとです。

また、「点」の答えを求めるまでしか学んでいないとしても、
正しいかどうか判りませんが、「点」や「線」、そして「体」といった答を想像することは出来ると感じます。
もちろん数式を用いてシンプルに説明することは難しく効率が良いとは言えないかも知れませんが。
その発想に至るまでの方法が好みによって違うだけだと思います。
例えば、物語の物語の5W1H、起承転結などを学ぶ際に「起」の起こりの中にも「承」や「転」「結」があることを知れば、
全体の「線」(流れ?)や「体」(広がり?)に気付き、ただ「点」という結末を見るだけでない発想が得られます。
(ちぐはぐな書き込みでしたらすみません。)

必要なのは、まず知ることと、それぞれの見方で色々を考えられるようになることですかね。

素敵な記事で読んでいて参考になりました。

YamoritokageYamoritokage 2011/11/20 18:43 はじめまして(文系人間です)。

確かに私も方程式が大嫌いです。文系人間は費用対効果と自分の直感を絶対視するからだと思います。

苦労して方程式を解いても自分の利益に直結しないのではないかと思った瞬間に、方程式に対する興味がなくなります。また、解が自分の直感に反する場合、自分の直感を優先します。多分、論理的なものを生理的に受け付けない(あるいは懐疑的にみる)のでしょう。

なお、経済学で方程式を解くことがありますが、これは、あくまでも理論をグラフの形でビジュアルに表現するためのモデルとして用いるにすぎません。

あるいは、単に難しいことが嫌いなだけかもしれませんね。こうなると文系・理系以前の問題ですが...。

ghsoboghsobo 2011/11/24 20:05 Yamoritokageさん、はじめまして
方程式とは自然の法則です。その解はその法則に従って系の状態が示されるわけですから、好き嫌い関係ないです。

ここで言っているのはそうではなく、中学までの方程式は具体的数値を求めるだけ、ということだけに思われている。よく「机上の空論」というのもよく耳にする。
これも誤解です。
そうではなく、もっと広く傾向とか形まで含み、より実用的になっているということですね。

rikunorarikunora 2011/11/27 14:34 hirotaさん、kafukaさん、
幸福の数値化を肯定的にとらえるか、否定的にとらえるかによって類型ができるのではないかと思いました。
かくいう私は、幸福が数値化できた方が世の中良くなるのではないかと本気で思っています。
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20080706/

Futamiさん、Yamoritokageさん、ghsoboさん、つまるところ方程式は1つの道具なのだから、
「知ることを必要とする、楽しめる、利益に直結する」ものでないと世に受け入れられません。
方程式をいじっている人間は、ともすると方程式そのものが目的化してしまって、
実用的な分野を「応用」などと呼んで、ちょっと見下す傾向があるように感じます。
方程式って、実はそんな「お高くとまった」ものではなくて、使いどころによっては本当に役立つのだと言いたい。
これまで理系・文系とかいう枠組みを作ったせいで、方程式を役立たせる部分が
おざなりになってしまったのではないかと思うのです。

ghsoboさん、なるほど、方程式で、ですか。
確かに、何かの役に立てるなら、「方程式で」問題を解決するというのが合ってますね。

理系(物理)理系(物理) 2012/01/23 09:03 ボールの例は"点の方程式"、"線の方程式"の問題ではなく、方程式が"近似"だということと、"近似"の有用性が分かっていないということではないでしょうか?

rikunorarikunora 2012/01/23 21:15 確かに、現実問題には"近似"の有用性というのもあると思います。
友人がどういう意味で「正しい答なんて出るわけがない」と言ったのか、
次の機会に、さりげなく聞いてみましょう。

shivashantishivashanti 2012/01/24 15:05 「理系と一般人の最大のギャップ」は、一般人(とここで呼ばれている人たち)は「数学と物理学と工学の区別がつかない」という事だと思うよ。
ボールの落下地点の予測に「数学」をもってくる。その感覚こそがギャップ。

数学が追求しているのは形而上の美しい構築物だから、現実に役に立つとか答えが出るとかなんて数学にとってはどうでもいいこと。
関数や方程式なんて現実社会で利用される見込みの無い物の方が多い。

物理学が追求しているのは、現実をどう説明するかということ。
役に立つかどうかなんて正直な所どうでもいい。そんな事より不思議じゃないの?なんか法則があるんじゃないの?解明したくないの?ってのが物理学。
物(たとえばボール)が落下する。なんで?どういう法則に従ってるの?そういうことを主に数学の成果を使って説明してくれる。

やっと出てくるのが工学。
もしもボールの落下地点や落下時刻が判れば儲かるんだよねー。メリットあるんだよねー。とかそういう期待に答えるのが工学。
物理学の成果を使うこともあれば、まったく別の分野からの成果を使う事も(ジェネティックアルゴリズムとか)ある。役に立つならなんでもアリ。

何らかのメリットが得られればオーケーなんだから、ばっちりな答えじゃなくていい。だからこそ「近似」でいい。
ばっちりを求めてライバルに先を越されるくらいなら、アバウトでも良いから利用してしまえ!が工学。


理工系に属していればこの辺の「畑違い」感は常に感じてるはず。

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