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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2012-09-20

ABC予想って何?

そもそも問題がよくわからん、と聞かれたので。


ある自然数素因数分解して出てきた、全ての約数を並べてみることを考えます。

 例: 45 = 3 * 3 * 5 = 3^2 * 5 なので、45 の約数は { 3 と 5 } です。

 例: 504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7

   = 2^3 * 3^2 * 7 なので、504 の約数は { 2 と 3 と 7 } です。


約数を並べるときに、重複する約数は1つだけ残す、ということにしています。

※ 例えば 45 = 3 * 3 * 5 なのですが、3 は重複して2回出てきているので、

※ 2個のうちの1個だけを結果に残しています。

※ 「全部の種類の約数」を並べるのだ、と考えれば良いでしょう。


このようにして並べた約数を、全て掛け合わせるという計算を、rad(n) と表記することにしましょう。

 例: rad(45) = 3 * 5 = 15 です。

 例: rad(504) = 2 * 3 * 7 = 42 です。

rad は「根基(radical)」と呼ばれています。


いま、互いに素な(お互いに共通の約数を持たない)3つの自然数 a, b, c があったとして、

それらが a + b = c という関係になっていたとしましょう。

このとき、必ず

  c < rad( a * b * c )^2

となっている、というのが ABC予想です。


※ 互いに素、とは・・・

※ 例えば 14 と 35 は、14=7*2, 35=7*5 であり、共通の約数 7 を持つので、互いに素ではない。

※ (両方とも、掛け算九九の7の段に入っている)

※ 14 と 15 は、共通の約数を持たないので、互いに素である。

※ (掛け算表の同じ段に入っていない)


証明は極めて難しい。。。

* 宇宙際幾何学者 望月新一

>> http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/

* 参考: フェルマー予想とABC予想

>> http://www.math.tohoku.ac.jp/~ytakao/papers/abc.pdf


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試しに適当な数をあてはめて、確かめてみましょう。

a=9, b=16, c=25

9 + 16 = 25

rad( 9 * 16 * 25 ) = rad( 3^2 * 2^4 * 5^2 ) = 3 * 2 * 5 = 30

30^2 = 900

なので、確かに c=25 < 900 となっています。


a=8, b=1, c=9

8 + 1 = 9

rad( 8 * 1 * 9 ) = rad( 2^3 * 1 * 3^2 ) = 2 * 1 * 3 = 6

6^2 = 36

なので、確かに c=9 < 36 となっています。


a=5, b=27, c=32

5 + 27 = 32

rad( 5 * 27 * 32 ) = rad( 5 * 3^3 * 2^5 ) = 5 * 3 * 2 = 30

30^2 = 900

なので、確かに c=32 < 900 となっています。


・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

この予想には、さらに発展型があります。

上では、

  c < rad( a * b * c )^2

としていたのですが、この式の最後の ^2 (2乗)を、もう少し小さな数、

例えば ^1.6 などの中途半端な小数にしたらどうなるか、ということです。

1より大きい中途半端な小数を k と表記すると、

 c < rad( a * b * c )^k    (ただし k > 1)

が成り立たないような例外的な a, b, c の組み合わせは、高々有限個しか存在しない、というのが ABC予想の発展型です。

Wikipedia には、この発展型の説明が書かれています。>> wikipedia:ABC予想

Wikipedia によると、k > 1.6 の場合、例外的な a, b, c の組み合わせは以下の3組しか知られていないのだそうです。


組み合わせ1:

  a = 2,  b = 3^10・109,  c = 23^5

  rad(abc)^1.6 = 4.82713 * 10^6

  c = 6436343

組み合わせ2:

  a = 11^2,  b = 3^2・5^6・7^3,  c = 2^21・23

  rad(abc)^1.6 = 3.63533 * 10^7

  c = 48234496

組み合わせ3:

  a = 19・1307,  b = 7・29^2・31^8,  c = 2^8・3^22・5^4

  rad(abc)^1.6 = 2.05503 * 10^15

  c = 5020969537440000


よくみつけたな〜。

* ABC@Home -- 分散コンピューティングによってa,b,cの組を探すプロジェクト.

>> http://abcathome.com/

通りすがり通りすがり 2013/02/17 01:27 rad( 9 * 16 * 25 ) = rad( 3^2 * 2^3 * 5^2 ) = 3 * 2 * 5 = 30

→rad( 3^2 * 2^4 * 5^2 ) かと、結果に影響ありませんが・・

rikunorarikunora 2013/05/01 16:23 すいません、ご指摘の通りです。本文を訂正しました。
どうもありがとうございます。

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