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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2013-06-14

なぜ内積は成分同士の積になるか

ベクトル内積 |A||B|cosθは、各成分ごとの積を足し合わせた値に等しくなる。

f:id:rikunora:20130615032041p:image

確かに計算するとそうなるのですが、なぜそうなるのか、直観的には把握しずらい。


そこで、内積直観的に見てとれるように、片方のベクトルを90度回転して図示してみます。

最も簡単な、2つのベクトルが同じ向きにそろっていた場合の図は、こうなります。

f:id:rikunora:20130615032109p:image

こうすれば、内積の値を「長方形の面積」として見ることができるでしょう。

この長方形直交座標の上に置いて、下図のように、周囲の三角形を移動すれば・・・

f:id:rikunora:20130615032157p:image

確かにピンク色の部分が、各成分ごとの積和 Xa・Xb + Ya・Yb に一致しますね!


では、2つのベクトルの向きがそろっていない場合はどうなるか。

この場合は、上で長方形について行ったことを、平行四辺形に拡張しただけなのです。

f:id:rikunora:20130615032241p:image

先ほどと同様、片方のベクトルを90度回転して図示します。

そして、平行四辺形の周囲にある三角形を移動すると・・・

f:id:rikunora:20130615032312p:image

確かに、ピンク色の部分 = |A||B|cosθ = Xa・Xb + Ya・Yb となっているではありませんか!


※ ちなみに、高校の教科書には「余弦定理による証明」というものが書かれていた。

※ むろん、正当な方法なのだが(私にとっては)いまひとつ直観的ではなかった。

※ 参考: http://izumi-math.jp/G_Kakuta/in_pro/in_pro.htm


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ご興味ある方は、ぜひどうぞ。内積の話題も、ここから来ています。


skyshipskyship 2013/06/16 14:23 bを90度回転させたベクトルをb'(-B[y],B[x])として
aとb'の外積を図形的に考察しているわけですね。
新たな視点でした。

余弦定理を使う証明は確かにあまり自然に感じられなくて、
私は、内積について分配法則が成り立つことを認めて、
(|A|*|B|*cosθという定義からも認めやすいと思います)
単位ベクトル同士の内積に分配する証明が好きです。

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きっかけがあり、甦るMaxwellの悪魔を再び読んでいました。

第二法則に従うなら永久機関は不可能なので、
分子モーターから得られる仕事は、
エネルギーとして貯めておけないということになります。
が、仕事を取り出す時刻が不確定でも、適切な装置を使えば
位置エネルギーや電気エネルギーに変換できそうに思いました。

そんなことを考えていて、私がたどりついた発想は、
「(すべての)自由エネルギーには寿命が有る」という説です。

得られるエネルギーが、得る以上のペースで寿命が尽きてしまう。
という理由で永久機関にならないのではないかという発想です。
(第五章の「円環」という言葉と似た雰囲気のように感じます。)

適当な思いつきでしかないですが、参考になれば嬉しいです。

rikunorarikunora 2013/06/18 10:00 「単位ベクトル同士の内積に分配する証明」、
これが最も体系的というか、線形代数の精神?!に近い気がします。

Maxwellの悪魔、深く読んでくれてありがとう。
すべての自由エネルギーには寿命が有る、という考えは、
気持ちの上ではとても共感できます。
手元に自由エネルギーというプラスがあった分だけ、
この世のどこかに“不確定、わからなさ、でたらめ”といったマイナスが出てきて、
両方合わせるとゼロになる 〜 ゼロになるようにバランスが取れている。
そんな風に私はイメージしています。

ただ、このことを言葉で言ってもグダグダになってしまうので、
より正確な数理的表現の必要を感じています。

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