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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2013-06-21

円を開く

まずはこの図を見て下さい。

f:id:rikunora:20130622032029p:image

図において、赤い円弧と緑の円弧の長さは同じです。

なぜかというと、半径を2倍にした代わりに、中心角を半分にしたから。

上の図の意味が分かったところで、今度は下の図を見て下さい。

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今度の図では、赤、緑、青の円弧は全て同じ長さです。

理屈は上と同じで、半径を倍、倍、にした代わりに、中心角を半分ずつにしています。

同じ操作をもっと繰り返したのが次の図です。

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ここでは操作を5段階まで繰り返しました。

※ こういった幾何学図形を描くのに便利なソフトが Cinderella(シンデレラ)です。

※ 上のような図がおもしろい様に描けるので、ぜひお試しあれ。

※ 参考: >> 271828の滑り台Log -- いとしのCinderella


以上の操作を繰り返すと、円周を長さを変えずに切り開いていく過程が見えてきます。

f:id:rikunora:20130622032231p:image

こんな感じ。

ここで気になるのは、切り開いていったときの軌跡、緑の矢印で示した曲線でしょう。

この曲線はどういった形なのかというと、

「円の半径を伸ばした分だけ、中心角を小さくする」という規則に従って描かれています。

式にすれば、{ r Sin(1/r), ± r (1 - Cos(1/r) } という点の集まりです。(r は円の半径)

この点の集まりをプロットすると・・・

f:id:rikunora:20130622032302p:image

こうなりました。

原点の近くで、クルクルっと小さな渦巻きを形作っています。

これ、どういうことかというと、切り開く動作(r > 1)と反対の、

小さく丸めていった方(-1 < r < 1)もプロットされているのです。

一定長の円周を小さく丸めてゆくと、やがて円周は1巻き、2巻き、3巻き・・・

と巻き数を増していって、1点にまで縮めた極限では無限回巻き?! になります。

さらに、その極限を通り越して反対側 (r < 0, rがマイナス) に突き抜けると、

今度は小さな渦巻きが再び開いて元の円に戻る、そんな動きをします。

感覚を掴むため、プロットのx座標、y座標をそれぞれグラフにしてみました。

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y = x Sin( 1 / x ) という関数は、しばし0点で連続なのだろうか? という例題に取り上げられます。

厳密に言えばε-δのような議論が必要なのでしょうが、

直観的には、小さく丸まった円を想像すれば、実は連続なのだということが納得できると思います。

※ だからどうした! って言われると、オチは無いのですが、、、

※ 単に丸まった形がおもしろい、というだけです。以上。


hirotahirota 2013/06/22 11:14 インボリュート曲線かな?と思ったけど違いますね。

nonamenoname 2013/06/24 16:13 これは美しい、、、芸術出来ですね。
中学レベルの数学の知識の裏にも、こんなものが隠れていたなんて。。。
これからも、どんんどん数学や科学の記事をお願いします!

rikunorarikunora 2013/07/01 18:54 逆にインボリュート曲線なるものを知らなかったww。
この形を見つけるきっかけを作ったのは、実は中学生なのです。

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