Hatena::ブログ(Diary)

小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2017-03-01

Sin Sin Sin... Cos Cos Cos...

Sin( Sin( Sin( ・・・ Sin(x))))... のように、Sinをどこまでも繰り返したら、どうなるか?

Cos( Cos( Cos( ・・・ Cos(x))))... のように、Cosをどこまでも繰り返したら、どうなるか?

Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ・・・ Sin((π/2) x )))... のように、Sin((π/2) * ) だったらどうなるか?

Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ・・・ Cos((π/2) x )))... のように、Cos((π/2) * ) だったらどうなるか?


答を見る前に、ちょっと考えてみましょう・・・

    ・

    ・

    ・

    ・

    ・

    ・

    ・

    ・

    ・

    ・


Sin( Sin( Sin( ・・・ のグラフ、だんだん低くなっているように見えます。

f:id:rikunora:20170302012036p:image


Cos( Cos( Cos( ・・・ のグラフ、一定の値に近づいているようです。

f:id:rikunora:20170302012122p:image


Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ・・・ のグラフ、矩形波っぽくなります。

f:id:rikunora:20170302012219p:image



Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ・・・ のグラフ、矩形波っぽいけど、よく見ると上下交互に振動しています。

f:id:rikunora:20170302012304p:image


関数の挙動は、以下のように斜め45度の線(y=x)を引くと、よく分かります。


まず Sin( Sin( Sin( ・・・ の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012354p:image

X軸上の適当な点<1>からスタートします。

点 <1> に該当する Sin(<1>) の値は、グラフ上の<2>の点です。

その<2>の値を、再び Sin の入力とするには、

斜め45度の線(y=x)に“反射”させて、y軸に示された値を x軸上にもってきます。それが<3>です。

<3> に該当する Sin(<3>) の値は、グラフ上の<4>の点です。

以下、<5>, <6>, <7>, <8>・・・と、繰り返します。

繰り返し操作は、グラフ上の Sin と斜めの線に挟まれた細い領域を進み、最後は0に近づきます。

X軸上のどの点からスタートしても、結局は0に近づくので、Sin( Sin( Sin( ・・・ の極限は0です。


次は Cos( Cos( Cos( ・・・ の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012430p:image

グラフの見方は、Sinと同じように矢印を辿ります。

今度の場合、Cos と斜めの線の交点に、矢印は巻き付くように近付きます。

なので、Cos( Cos( Cos( ・・・ の極限は Cos(x) = x となる交点の値です。

x = 0.739085... といった値になります。


同じようにして、 Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ・・・ の値が1に近づくことが見て取れます。

(マイナス側の -π < x < 0 の範囲では -1 に近付きます。)

f:id:rikunora:20170302012503p:image


Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ・・・ の場合は、1点に収束しません。

最後には0と1の間を振動するような形となります。

f:id:rikunora:20170302012532p:image


もっと試してみましょう。


(π/2) Sin( 2 * ) の繰り返し。周波数を2倍にしたもの。

(π/2) Sin( 2 (π/2) Sin( 2 (π/2) Sin( 2 x ) ) )

f:id:rikunora:20170302012639p:image


(π/2) Cos( 2 * ) の繰り返し。周波数を2倍にしたもの。

(π/2) Cos( 2 (π/2) Cos( 2 (π/2) Cos( 2 x ) ) )

f:id:rikunora:20170302012724p:image


Sin の周波数を上げていったらどうなるか。

Sin( 2 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012750p:image

Sin( 3 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012835p:image

Sin( 4 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012900p:image

Sin( 5 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012927p:image


Cos の周波数を上げていったらどうなるか。

Cos( 2 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302012954p:image

Cos( 3 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302013012p:image

Cos( 4 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302013034p:image

Cos( 5 * ) の繰り返し。

f:id:rikunora:20170302013059p:image


最後はカオスになる。


* Sin写像カオス >> id:rikunora:20170304 に続く.

スパム対策のためのダミーです。もし見えても何も入力しないでください
ゲスト


画像認証

トラックバック - http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20170301/p1