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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2018-05-03

ピタゴラスの定理と内積の関係

ピタゴラスの定理、おそらく数学で最も有名な定理の1つではないでしょうか。

『直角三角形の、直角を挟む2辺それぞれの長さの2乗の和は、残る斜辺の長さの2乗に等しい。』

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歴史も古く、使いどころも多い“役に立つ”定理なので、これまで幾多の証明方法が考えられてきました。

ピタゴラスの定理 100の証明法」なんていう本まであったりします。

ピタゴラスの定理 100の証明法―幾何の散歩道

そんな数ある証明の中で、私がいちばん美しいと思ったのが、これ。

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・赤い直角三角形を4枚並べて、上の図のような正方形を作ります。

・左側の正方形で、真ん中に空いた水色の正方形の面積は c^2 。

・右側の正方形で、すきまに空いた2つの正方形の面積は、a^2 + b^2 。

・左右の正方形は同じ大きさだから、水色の面積は等しいはず。なので、

    c^2 = a^2 + b^2

さて、このピタゴラスの定理の証明は、実質的に「ベクトル内積」と同じことを言っています。

ベクトル内積」とは下の図に示す、ベクトルの長さと角度、座標についての関係のことです。

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ベクトル内積 |A||B|cosθは、各成分ごとの積を足し合わせた値に等しくなる。』

知っている人にとっては“半ば常識”とも言える内積の関係ですが、

改めて「なぜこうなるのか」と問われると、不思議ではありませんか。

そこで、上の「ピタゴラスの定理の証明」を頭の片隅において、ちょっと以下の記事を見てください。


* なぜ内積は成分同士の積になるか >> id:rikunora:20130614


この内積の証明が、ピタゴラスの定理と全く同じであることが見て取れたでしょうか。

2つは同じ話だったのです。ただ、ちょっと表現方法が異なっていただけです。


ytrytr 2018/05/04 01:28 これも分かりやすいですね
内積のほうは全ての線形代数の教科書に載せてほしいほどです

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