sin(3°)系列 (2) - rscのブログ

　前回、表を作ったところで圧倒されて、中断してしまいましたが、その続きです。(^_^;

$Q=\frac{\sin(24^{\circ})\sin(57^{\circ})}{\sin(39^{\circ})\sin(18^{\circ})}=\frac{\sin(27^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$
を証明するのに、両辺の分母を払って、
$\sin(15^{\circ})\sin(24^{\circ})\sin(57^{\circ})=\sin(18^{\circ})\sin(27^{\circ})\sin(39^{\circ})$
　結局、この等式の左辺lhsと右辺rhsの差D=0を示せばよい。
　ここで、三角関数の積和の公式
$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}$
を2回連続で使って導いた公式
$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma$
　 $=\frac{1}{4}\{\sin(\alpha+\beta+\gamma)+\sin(\alpha+\beta-\gamma)+\sin(\alpha-\beta+\gamma)+\sin(\alpha-\beta-\gamma)\}$
を使ってみます。結果がsinだけの式になるのと、符号の間違いが少ないと思うのでこれを採用しました。(^_^;
$lhs=\sin(15^{\circ})\cos(90^{\circ}-24^{\circ})\cos(90^{\circ}-57^{\circ})=\sin(15^{\circ})\cos(66^{\circ})\cos(33^{\circ})$
　 $=\frac{1}{4}\{\sin(114^{\circ})+\sin(48^{\circ})+\sin(-18^{\circ})+\sin(-84^{\circ})\}$
　 $=\frac{1}{4}\{\sin(66^{\circ})+\sin(48^{\circ})+\sin(-18^{\circ})+\sin(-84^{\circ})\}$

$rhs=\sin(18^{\circ})\cos(90^{\circ}-27^{\circ})\cos(90^{\circ}-39^{\circ})=\sin(18^{\circ})\cos(63^{\circ})\cos(51^{\circ})$
　 $=\frac{1}{4}\{\sin(132^{\circ})+\sin(30^{\circ})+\sin(6^{\circ})+\sin(-96^{\circ})\}$
　 $=\frac{1}{4}\{\sin(48^{\circ})+\sin(30^{\circ})+\sin(6^{\circ})+\sin(-84^{\circ})\}$
∴
$4D=4lhs-4rhs=\{\sin(66^{\circ})+\sin(48^{\circ})-\sin(18^{\circ})-\sin(84^{\circ})\}$
　 $-\{\sin(48^{\circ})+\sin(30^{\circ})+\sin(6^{\circ})-\sin(84^{\circ})\}$
　 $=\{\sin(66^{\circ})-\sin(18^{\circ})\}-\{\sin(30^{\circ})+\sin(6^{\circ})\}$
　 $=\sin(66^{\circ})-\sin(18^{\circ})-\sin(30^{\circ})-\sin(6^{\circ})$
　ここで、和積公式が使えそうですが、せっかく表を作ったので、そのまま表を使って、
$4D=\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}-\frac{\sqrt{5}-1}{4}-\frac{1}{2}-\frac{-\sqrt{5}-1+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}=0$

P.S.
　ちなみに、和積公式を使って、もう少し計算を進めると、
$4D=\{\sin(66^{\circ})-\sin(6^{\circ})\}-\sin(18^{\circ})-\sin(30^{\circ})$
　 $=2\cos(36^{\circ})\sin(30^{\circ})-\sin(18^{\circ})-\sin(30^{\circ})$
　 $=\sin(54^{\circ})-\sin(18^{\circ})-\sin(30^{\circ})$
　 $=\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{\sqrt{5}-1}{4}-\frac{1}{2}=0$