2012-11-30

　匿名質問の数学の問題を敢えて、図形的性質を使わずに式だけで解いてみました。(^_^;
　この解き方は、数Ⅰじゃなくて、数Ⅱぐらいかな。(^_^;

・BC=2、∠A=45度のとき、三角形ABCの面積の最大値はいくつか

　AB=x, AC=yと置くと、題意の面積Sは、次式で表すことができる。
$S=\frac{1}{2}xy \sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4} xy \cdots(1)$
　また、余弦定理から、
$2^2=x^2+y^2-2xy \cos45^{\circ}=x^2+y^2-\sqrt{2} xy \cdots(2)$
　ここで、 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ を使って、(1),(2)を極座標変換してみると、
x,y>0だから、0<θ<90°
$x^2+y^2=r^2,xy=\frac{r^2}{2}\sin 2\theta$ だから、
$S=\frac{\sqrt{2}r^2}{8}\sin 2\theta \cdots(3)$
$r^2-\frac{\sqrt{2}r^2}{2}\sin 2\theta=r^2\left(\frac{2-\sqrt{2}\sin 2\theta}{2}\right)=4$
∴
$\frac{8}{2-\sqrt{2}\sin 2\theta}=r^2 \cdots(4)$
　(3),(4)から、 $r^2$ を消去して、
$S=\frac{\sqrt{2}\sin 2\theta}{2-\sqrt{2}\sin 2\theta}=\frac{\sin 2\theta}{\sqrt{2}-\sin 2\theta}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sin 2\theta}-1 \cdots (5)$
　よって、 $\sin 2\theta=1$ すなわち、θ=45°のとき、Sは最大値をとり
$S=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-1=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)-1=1+\sqrt{2}$