0. 記号、特に行列について 駆け足で読む『数学をいかに使うか』

">|tex|"と"||<"とで囲む
  • 集合とその元
    • x \in A:xはAの要素
    • A \cup B:AとBとの結び
    • A \cap B:AとBの交わり
    • A \subset B:AはBの部分集合
x \in A
A \cup B
A \cap B
A \subset B
    • Rではsetsパッケージ
library(sets)
A<-set("x","y","z")
B<-set("x","w")
is.element("x",A)
set_union(A,B)
set_intersection(A,B)
C<-set("x","z")
C<A
    • \mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}
    • 整数全体の集合、有理数全体の集合、実数全体の集合、複素数全体の集合
\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}
  • 数の集合
    • \{x \in \mathbf{R} | -6 \le x <2\}
      • 6以上2未満の実数の集合
    • \{z \in \mathbf{C} | 3z^2+6z=1\}
    • \{x \in \mathbf{R} | x^2 = -7\}=\phi
\{x \in \mathbf{R} | -6 \le x <2\}
\{z \in \mathbf{C} | 3z^2+6z=1\}
\{x \in \mathbf{R} | x^2 = -7\}=\phi
examples(complex)
  • 行列
    • n \times m行列(nm列行列)
    •  A= [a_{i,j}]_{i=1,...,n;j=1,...,m} = \begin{pmatrix} a_{i,j} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}  & ... & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2}  & ... & a_{2,m} \\ \\ ... & ...  & a_{i,j} & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2}  & ... & a_{n,m} \end{pmatrix}
    • 転置行列 ^tA=\begin{pmatrix}a^t_{i,j} \end{pmatrix}
      • a^t_{i,j} = a_{j,i}なるm \times n行列
      • ^t(AB)=^tB ^tA
    • 正方行列はn \times n行列
    • det(AB)=det(A)det(B)
    • tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
n \times m
A= \[a_{i,j}\]_{i=1,...,n;j=1,...,m} = \begin{pmatrix} a_{i,j} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}  & ... & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2}  & ... & a_{2,m} \\ \\ ... & ...  & a_{i,j} & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2}  & ... & a_{n,m} \end{pmatrix}  
^tA=\begin{pmatrix}a^t_{i,j} \end{pmatrix}
a^t_{i,j} = a_{j,i}
^t(AB)=^tB ^tA
det(A)
det(AB)=det(A)det(B)
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
    • Rでは
n<-3
m<-4
elems<-1:(n*m)
A<-matrix(elems,ncol=3)
tA<-t(A)
print(A)
print(tA)
B<-matrix(sample(elems),ncol=m)
AB<-A%*%B
t(AB)-t(B)%*%t(A)
# 正方行列
A<-matrix(1:(n^2),ncol=n)
B<-matrix(sample(1:(n^2)),ncol=n)
print(A)
print(B)
print(AB)
det(AB)
det(A)*det(B)
# traceは対角成分の和
sum(diag(A+B))
sum(diag(A))+sum(diag(B))
  • (代数的構造)
    • 体と\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}
      • 加減乗除ができる(数の)集合が体
      • \mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}のうち\mathbf{Z}は除(割り算)をすると答えが\mathbf{Z}に含まれないことがあるので体ではない。それ以外は体
    • 全行列環
      • Fをとる(Fとして体である\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}のうちのどれか一つを採用する)
      • Fの元を成分とするn\times n正方行列をM_n(F)と書き、F上のn次の全行列環と呼ぶ
      • M_n(F)加減乗除のうち除を除く3演算ができる
      • M_n(F)の要素Adet(A) \neq 0であるときAB=1_n,CA=1_nとなるようなB\in M_n(F),C \in M_n(F)が存在して、B=Cである。ただし1_nn\times n単位行列
      • このようなB,CA逆行列と呼んでA^{-1}と書く
      • A^{-1}を掛け算することはAで割り算することに対応するから、det(A)であるM_n(F)の要素をすべて取り出してやると、それらは加減乗除のすべてができることになる
      • GL_n(F)=\{X \in M_n(F) | det(X) \neq 0 \}においてX,Y\in M_n(F) \Longrightarrow XY \in GL_n(F), X^{-1} \in GL_n(F)であり1_n \in GL_n(F)である
      • これをn次の一般線形群(general linear group of degree n over F)と言う
      • 特に、det(X)=1に限定したSL_n(F)=\{X \in M_n(F) | det(X) =1 \}SL_n(F) \subset GL_n(F)であって、n次の特殊線形群(special linear group of degree n over F)と言う
    • 正方行列を対角に並べたもの
      • r個の正方行列X_iを対角線上に並べたものをX=diag[X_1,X_2,...,X_r]と書くことにする。X_iの次数がn_iのときXの次数は\sum_{i=1}^r n_iである
M_n(F)
det(A) \neq 0
AB=1_n,CA=1_n
B\in M_n(F),C \in M_n(F)
A^{-1}
GL_n(F)=\{X \in M_n(F) | det(X) \neq 0 \}
X,Y\in M_n(F) \Longrightarrow XY \in GL_n(F), X^{-1} \in GL_n(F)
1_n \in GL_n(F)
SL_n(F)=\{X \in M_n(F) | det(X) =1 \}
SL_n(F) \subset GL_n(F)
X=diag\[X_1,X_2,...,X_r\]