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- 集合とその元
- :xはAの要素
- :AとBとの結び
- :AとBの交わり
- :AはBの部分集合
x \in A
A \cup B
A \cap B
A \subset B
library(sets)
A<-set("x","y","z")
B<-set("x","w")
is.element("x",A)
set_union(A,B)
set_intersection(A,B)
C<-set("x","z")
C<A
- 数
- 整数全体の集合、有理数全体の集合、実数全体の集合、複素数全体の集合
\mathbf{Z},\mathbf{Q},\mathbf{R},\mathbf{C}
\{x \in \mathbf{R} | -6 \le x <2\}
\{z \in \mathbf{C} | 3z^2+6z=1\}
\{x \in \mathbf{R} | x^2 = -7\}=\phi
examples(complex)
n \times m
A= \[a_{i,j}\]_{i=1,...,n;j=1,...,m} = \begin{pmatrix} a_{i,j} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,m} \\ \\ ... & ... & a_{i,j} & ... \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,m} \end{pmatrix}
^tA=\begin{pmatrix}a^t_{i,j} \end{pmatrix}
a^t_{i,j} = a_{j,i}
^t(AB)=^tB ^tA
det(A)
det(AB)=det(A)det(B)
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
n<-3
m<-4
elems<-1:(n*m)
A<-matrix(elems,ncol=3)
tA<-t(A)
print(A)
print(tA)
B<-matrix(sample(elems),ncol=m)
AB<-A%*%B
t(AB)-t(B)%*%t(A)
A<-matrix(1:(n^2),ncol=n)
B<-matrix(sample(1:(n^2)),ncol=n)
print(A)
print(B)
print(AB)
det(AB)
det(A)*det(B)
sum(diag(A+B))
sum(diag(A))+sum(diag(B))
- 群・環・体(代数的構造)
- 体と
- 加減乗除ができる(数の)集合が体
- のうちは除(割り算)をすると答えがに含まれないことがあるので体ではない。それ以外は体
- 全行列環
- 体をとる(として体であるのうちのどれか一つを採用する)
- 体の元を成分とする正方行列をと書き、F上のn次の全行列環と呼ぶ
- は加減乗除のうち除を除く3演算ができる
- の要素がであるときとなるようなが存在して、である。ただしはの単位行列
- このようなをの逆行列と呼んでと書く
- を掛け算することはで割り算することに対応するから、であるの要素をすべて取り出してやると、それらは加減乗除のすべてができることになる
- においてでありである
- これをn次の一般線形群(general linear group of degree n over F)と言う
- 特に、に限定したはであって、n次の特殊線形群(special linear group of degree n over F)と言う
- 正方行列を対角に並べたもの
- 個の正方行列を対角線上に並べたものをと書くことにする。の次数がのときの次数はである
M_n(F)
det(A) \neq 0
AB=1_n,CA=1_n
B\in M_n(F),C \in M_n(F)
A^{-1}
GL_n(F)=\{X \in M_n(F) | det(X) \neq 0 \}
X,Y\in M_n(F) \Longrightarrow XY \in GL_n(F), X^{-1} \in GL_n(F)
1_n \in GL_n(F)
SL_n(F)=\{X \in M_n(F) | det(X) =1 \}
SL_n(F) \subset GL_n(F)
X=diag\[X_1,X_2,...,X_r\]