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数学用語集(TOMAC)

2012-03-18 楕円関数と友達になろうの目次

[][]円、楕円、楕円関数、一般化 10:48

  • こちらを参照
  • こちらも参照
  • 円と三角関数
    • 平面にある
    • 点(-a,0),(a,0)からの距離の和が一定で、かつa=0
    • 2変数で表される
    • 2変数は変数を用いて¥cos(t),¥sin(t)と表される
    • 円を表す変数が取る座標を表すのが三角関数、とも言い換えられる
    • 単位円の四分の一弧長が¥frac{¥pi}{2}
    • 単位円の面積が¥pi
    • 三角関数は周期2¥piを持つ1変数1周期の実関数
  • 三角関数と指数関数
    • e^{ix}=¥cos(x)+i ¥sin(x)
    • e^{z + 2¥pi i } = e^zなので、指数関数は周期2¥pi iを持つ1変数1周期関数
  • 円と楕円
    • 円は楕円の特殊形
    • 点(-a,0),(a,0)からの距離の和が一定なのが楕円
    • a=0という特別な楕円が円
  • 楕円・双曲線・カッシーニ曲線・アポロニウスの円
    • 楕円は点(-a,0),(a,0)からの距離の和が一定
    • 双曲線は点(-a,0),(a,0)からの距離の差が一定
    • カッシーニ曲線は点(-a,0),(a,0)からの距離の積が一定
    • アポロニウスの円は点(-a,0),(a,0)からの距離の商が一定(これは円になる)
    • 楕円と双曲線は円錐の切り口、カッシーニ曲線はトーラスの切り口
  • レムニスケートはカッシーニ曲線の特殊形
    • 距離の積が、2定点間の距離の半分の2乗に等しい特殊形がレムニスケート
    • レムニスケートは2重周期性を持つ
    • レムニスケートの周期平行四辺形は正方形という特殊形
  • 一般2重周期関数とレムニスケート・ヤコビの楕円関数
    • 一般2重周期関数は、周期平行四辺形によって特徴づけられる
    • ヤコビの楕円関数はその特殊形(長方形)
    • レムニスケートの場合は、さらにその特殊形(正方形)
  • 周期性の拡張
    • 周期性というのは、有理変換よって不変なこと(f(¥frac{az+b}{cz+d})=f(z))
    • 保型関数と呼ぶ
    • 多変数の多重周期有理型関数(アーベル関数)へと一般化は進む
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