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volume1　ぱらぱらめくる『Stochastic Models, Information Theory, and Lie Groups』

ぱらぱらめくるシリーズ 調和解析 確率モデル 情報理論 リー群
  • 1 Introduction
    • 本書の目的
      • 球面上の酔歩、DNA分子の運動、大腸菌の遊走などを扱うための本
  • 2 Gaussian Distributions and the Heat Equation
    • 色々な意味で特徴的な分布
    • 拡散を表現する分布でもあり、平均と分散が与えられれば、エントロピー最大の分布
    • ユークリッド空間の正規分布や、色々な空間でのそれ、球状分布、方向に関して平等
  • 3 Probability and Information Theory -> この章は復習すること
  • 4 Stochastic Differential Equations -> この商は復習すること
    • 酔歩やブラウン運動、ウィーナー過程
    • Ito Stochastic Calculus
    • Stratonovich Stochastic Calculus
    • Fokker-Planck Equations
    • 座標変換もする
  • 5 Geometry of Curves and Surfaces
  • 6 Differential Forms
    • 微分形式とベクトル解析
  • 7 Polytopes and Manifolds
  • 8 Stochastic Processes on Manifolods -> しっかり確認すること
    • 確率過程と多様体とのそれぞれはある程度わかるけれど、その組み合わせの章
  • 10 Lie Groups I
    • 群論とリー群と行列
    • リー群は、何かしら多様体を作っているものがあって、それに微分が載っているもののこと。たとえばユークリッド空間は「多様体」でそのベクトル加法について微分可能でうまくいくから、ユークリッド空間とそこのベクトル加法はリー群。多様体の形が変わってもOK。とすれば、今、多様体が変化することを考えていて、その変化に微分も考えているとき、それがリー群になっているはずで、そんなリー群を見つけて(定義して)やれば、すべてのそういった「多様体とその上での微分」はリー群を考えることになる、という、そういうつながりで、リー群を考えましょう、ということ。ごく自然な流れ、というか必然に近い関係
    • また、[X,Y] = XY-YXのような交換子積は外積代数やクリフォード代数などに登場するやつですが、この交換子積についても閉じているものがリー代数。いかにもクリフォード代数とかと関係しそう
    • 連続、微分可能…というところを詰めていくとexp^{i\alpha X}として閉じることがXには求められるそうで、これもリー群の定義(らしい)
    • そもそも、『多様体の無限小近傍の線形近似（連続群）』としてリー群が出てきたそうだから、
    • 以上、こちらから
    • Matrix Lie Groups: 逆行列を持つ行列を要素としてその積を演算とするのは一般化線形群。今、何かしらのパラメタを立てて、この行列の各要素を関数表示することにする。そのようにしてあらわされる行列同士の行列積はあって、その行列積の各要素は関数表示できる。こんな風にしてパラメタと関数で表される一塊の行列が一般化線形群の亜群になっているようなものがMatrix Lie Groups。そのとき、行列の要素のセットがどんなふうに関数表示されるかを考えると、多様体に関するLie群になっているという(ことらしい)
  • 11 Lie Groups II
  • 12 Lie Groups III
  • 13 Vaqriational Calculus on Lie Groups
    • 最適関数を探す
  • 14 Statistical Mechanics and Ergotic Theory
    • 剛体の例
  • 15 Parts Entropy and the Principal Kinematic Formula
    • 部分ごとに部品化できるものの扱い
  • 16 Multivariate Statistical Analysis and Random Matrix Theory
    • 多変量解析とLie群の行列との関係
  • 17 Information, Communication, and Group Theory
  • 18 Algebraic and Geometric Coding Theory
    • 実装・コード化の側面からの検討
  • 19 Information Theory on Lie Group
    • 確率過程にLie群を使うことへの考察
  • 20 Stochastic Processes on Lie Group
    • 群論側から具体的な問題を考え直す
  • 21 Locomotion and Perception as Communication overt Principal Fiber Bundles
    • 20 の続き