ryamadaの遺伝学・遺伝統計学メモ このページをアンテナに追加 RSSフィード

数学・コンピュータ関連の姉妹ブログ『ryamadaのコンピュータ・数学メモ』
京都大学大学院医学研究科ゲノム医学センター統計遺伝学分野のWiki
講義・スライド
医学生物学と数学とプログラミングの三重学習を狙う学習ツール
駆け足で読む○○シリーズ
ぱらぱらめくるシリーズ
カシオの計算機
オンライン整数列大辞典

2005-05-09

[]ボーズ(一匹も釣れない)になる確率の指数関数exp(-x)表現


  • 「(釣り人が)ボーズ」になる確率の説明404 Not Found

単位時間あたり、m匹の魚を釣り上げる釣り人が、t単位時間の間0匹しか釣果がない確率prob_Bを「ボーズ確率」と呼んでいる。ボーズとは、一匹も釣果がないこと(のようだ)。今、mが時間によらず一定だとすると、
prob_B(t)=exp(-m*t)
である。これは、有限時間Tの間に、m*Tの釣果が期待されるときに、その釣果がTのうちのはじめのt単位時間には一匹も釣れず、残りのT-t単位時間にm*T匹が釣れる確率の計算*1を想定し、Tを無限大極限を取ることとして示している。

ここで自然対数 e が出てくるのは e の定義

    • ¥Large e=¥lim_{n¥to¥infty}{¥left(1+¥frac{1}{n}¥right)^n}から。

  • Coalescenceが観測されるまでの待ち時間
    • 参考文献はno title
      • fD(tD)は次回Coalescenceが観測されるまでの時間がtDである確率密度関数
      • ( )は組み合わせの記号
      • nDt0は時刻t0における
    • 上述の「ボーズ確率」と異なるのは、Coalescenceの発生確率が一定ではなく、時間経過とともに変化することである。そのため、式は

¥Large f_{D}¥left(t_{D}¥right)=¥frac{¥left(¥begin{array}¥¥&n_{t_{0}}^D¥¥&2¥end{array}¥right)}{2N_{t_{D}p_{t_{D}}}}e¥left¥{-¥left(¥begin{array}¥¥&n_{t_{0}}^D¥¥&2¥end{array}¥right)¥sum_{t=t_{0}}^{t_{D}-1}{¥frac{1}{2N_{t}p_{t}}}¥right¥}

となり、これは

      • exp(-t)
        • の骨格を持つが、
      • [係数]xexp(-[時間の関数])
        • のように、修飾されている。
        • この式の導出は http://d.hatena.ne.jp/ryamada22/20050511:5月11日の日記] に改めて記載しなおし
        • [係数]は、fD(tD)が確率密度関数であるから、tDが0以上の範囲における積分が1となるように調整するために存在するものとみなせる。
        • 一方[時間の関数]は、離散的時刻における時刻の関数の和になっている
          • ある時刻に発生するCoalescenceは相互にCoalesceしうる染色体ペアの数に比例するから、nDt0(時点t0におけるARGに現れている染色体数)本の染色体がつくるペアに比例し、この「ARGに現れている染色体数」はCoalescenceが起きなければ変化しないので、時間に依存していない
          • 一方、「ARGに観測している染色体同士にCoalescenceが起きるかいなか」は、そのとき存在している全染色体本数(の自乗?に→筆者に問い合わせ中)に反比例しこの全染色体本数は時間の関数なので、Summation記号の中に書かれている

ここで用いている数式記法はryamadaのコンピュータ日記 - てふ参照。

*1:T-t)/T)^(m*T