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2018-01-18 特性関数

[]特性関数

  • 確率密度分布があったときに、特性関数というものがある
  • 分布を一意に確定するものとして密度分布があるが、それの双対になっている特性関数も分布を一意に決めるよ、という話
  • 確率変数 X があったときに、E¥[e^{itX}¥]を特性関数と言うよ、とのこと
  • このE¥[e^{itX}¥]E¥[e^{itX}¥] = ¥int_¥Omega e^{itw} P(w) dwのこと
  • これはX ¥sim P(w)なる分布を持つ変数があったときに、e^{itX}なる(複素数値の)確率変数を考える。ただし、この複素数値確率変数はtの関数になっているので、色々な確率変数を表しているよ、と
  • いま、tが色々な値を取り、Xもi色々なwなる値を取るので、tとwに関して色々な「確率密度のような値」を持った(少なくとも2次元の台を持つ)関数が出来たが
  • それをwについては重み付き積分をしてやったものがE¥[e^{itX}¥]である、という。
  • そして、ありがたいことに、E¥[e^{itX}¥]は関数になっていて、関数っていうのはたくさんの情報を持ち得ることから

複雑な分布の情報を完璧にもてる、とそういう話

  • ちなみに、E¥[e^{itX}¥]と純虚数を指数にした指数関数の値はcos ¥theta + i sin ¥thetaというぐるぐる周期関数なので、
  • 結局、「分布」を、「周期関数の1周のそれぞれの角度のところに値を持たせる(ただし角度は無限に細かく取れる)ことで、無限に複雑な情報を複素平面上の単位円周の上の関数に対応付ける」というのが特性関数

2017-07-27 ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Appli

[][][][]7 The Planar Shape Space ¥Sigma_2^k ぱらぱらめくる『Nonparametric Inference on Manifolds: With Applications to Shape Spaces』

  • Direct Similarity Shape Spacesの中でm=2の場合
  • 平面上の形の解析は形解析の基本であり、需要も多いので、取り立てる
  • 二次元平面上の点を複素平面上の点とみなす
  • 複素数重心で標準化すると、重心を中心としたk次元複素ベクトルが形に対応する
  • これを¥lambda e^{i¥theta}倍することは、伸縮して回転することに相当するので、これによって一致するベクトルは同一視することにする
  • 方向同一視で複素数的に1次元減り、回転同一視で複素数的にさらに1次元減る
  • これは複素射影空間 CP^{k-2}となる
  • k個の二次元座標を長さkの複素ベクトルzとし、u = ¥frac{z-¥bar{z}}{||z-¥bar{z}||}が標準化複素ベクトル。これを回転すると¥pi (u) = ¥{e^{i ¥theta} u | -¥pi ¥le u ¥le ¥pi¥}。この曲線が「形」を表す
  • これは射影平面H^{k-1}=¥{w ¥in C^{k}/¥{0¥}|¥sum_{i=1}^k w_i ~ 0¥}にあるCS^{k-1}複素球面上の点(CS^{k-1} = ¥{u ¥in C^{k}|¥sum_{i=1}^k u_i=0,||u||=1¥}
  • 形間距離はRe(e^{-i¥theta} Conj(w) z)の最小値をコサインとする角度
  • この回転はe^{i¥theta} = ¥frac{Conj(w)^T u}{|Conj(w)^T u|}で与えられるという

f:id:ryamada22:20170729060901j:image

m <- 2
k <- 5

x1 <- matrix(rnorm(m*k),ncol=m)
x2 <- matrix(rnorm(m*k),ncol=m)

x1. <- x1[,1] + 1i * x1[,2]
x2. <- x2[,1] + 1i * x2[,2]

u1 <- (x1.-mean(x1.))/sum(Mod(x1.-mean(x1.)))
u2 <- (x2.-mean(x2.))/sum(Mod(x2.-mean(x2.)))

sum(u1)
sum(Mod(u1))


z <- sum(Conj(u1) * u2)/Mod(sum(Conj(u1) * u2))

thetas <- seq(from=-1,to=1,length=1000)*pi

d <- rep(0,length(thetas))
for(i in 1:length(thetas)){
	tmp <- thetas[i]
	tmp2 <- u1 * exp(1i*tmp)
	d[i] <- abs(Re(sum(Conj(tmp2) * u2)))
}

plot(thetas, d,type="l")

abline(v=Arg(z),col=2)
  • Intrinsic Analysis in ¥Sigma_2^k
    • ¥Sigma_2^k上の点サンプルが複数あったときに、そこにどんな分布があるとみなすか、という解析ができる
      • 球形に配置されているとみなせるときは、方向統計学の意味での、中心と正規分布の分散共分散行列との推定ができる(これはFrechet分布)
      • より一般的な意味でのFrechet分布も推定できる
  • Extrinsinc Analysis in ¥Sigma_2^k
    • all k × k complex Hermitian matricesにマップできる(らしい)
      • Veronese-Whitney embeddingと呼ぶらしい
      • 複素空間単位球面上の複素ベクトルuがあったときに、u_i ¥bar{u_j}(i,j)要素とする行列のこと
    • このようしにして、Hermitian matricesがたくさん得られるので、それの「平均」とか「分布」とかを推定することができる
    • 分布にできれば、検定もできる

2010-12-20 駆け足で読む『曲線とソリトン』その2

[][][][][][][]駆け足で読む『曲線とソリトン』その2

曲線とソリトン (開かれた数学)

曲線とソリトン (開かれた数学)

  • 7. 進行波解の定める曲線
    • 曲線は曲率で決まる
    • 取り扱いやすい曲線は曲率の微分可能性に制限がある
    • 曲線は時間発展させられる
    • 曲率がそれに連れて時間発展する
    • 曲率の時間発展はmKdV方程式に従う〜曲率はmKdV方程式の解である
    • mKdV方程式のうち、特殊なものにソリトン解や代数的ソリトン解がある
    • mKdV方程式の特殊条件を緩めたものに楕円函数を用いたcn波解やdn波解がある
    • mKdV方程式の解は平面幾何で言えば曲率であり、曲率は曲線を(一意に)定めるから、mKdVの解であるソリトン解・代数的ソリトン解・cn解・dn解に対応する曲線があり、それを幾何的に表現・解釈することができる

http://www.genome.med.kyoto-u.ac.jp/StatGenet/lectures/2010/cndnWave.mp4

    • 以下がこの動画を描いたRソース
      • ellipticパッケージには複素積分用の関数が用意されている
      • myintegrate()は実部に関する積分関数
      • 関数と積分範囲を与える
      • 楕円函数の第1種、第2種完全積分とか、以下で定義しているmyf():ヤコビのイプシロン関数(これはdnの2乗の積分)とかを計算してくれる
      • 教科書のkの与え方とそれに対応する図(p55,p57)と、以下のソースのkの値の与え方と描かれる絵に対応が取れていないので要注意
      • dn波の場合には教科書のkをk^2/2と読み替えるとだいたいよさそう
      • cn波の場合には教科書のkをk^2と読み替えるとだいたいよさそう
      • k=0.9089...もしくはその二乗はオイラーの8の字を与える
本の著者の井ノ口先生より、Mathematicaをはじめとする数理ソフトでは"楕円関数の母数が「数学・物理での定義」と異なりk^2を用いた入力に
なっていますので、k^2と読み替えれば正しいです"とのコメントをいただいたので"k^2"と思って図を描けばよいようです。
---ありがとうございました。
myE<-function(t,m){
	myf<-function(x){
		dn(x,m)^2
	}
	ret<-rep(0,length(t))
	for(i in 1:length(ret)){
		ret[i]<-myintegrate(myf,0,t[i])
	}
	ret
}


myu<-seq(from=-20,to=20,by=0.2)
xlim<-c(-10,10)
ylim<-c(0,20)
filecounter<-1001
filenameRoot="dncn"
filenameFoot=".png"

#ks<-1/2^(1/(seq(from=0.5,to=10,by=0.5)))
ks<-seq(from=0.1,to=0.9,by=0.1)

ks<-c(1/2,1/sqrt(2),0.9,0.75,0.8535,0.95,0.9089)
ks<-c(0.05,ks^2/2,ks^2,0.95)
ks<-sort(ks)
# dn波解
for(i in 1:length(ks)){
	k<-ks[i]
	a<-1/sqrt(1-k^2)
	b<-1
	x<-myu-4*a/(sqrt(a^2-b^2))*(a*myu/2-Re(myE(a*myu/2,k)))
	y<--4*a/(sqrt(a^2-b^2))*(dn(a*myu/2,k)-1)
	filename<-paste(filenameRoot,filecounter,filenameFoot)
	png(filename)
	maintitle=paste("dn_k=",k,"_sqrt(k)=",k^0.5,"_sqrt(2k)=",sqrt(2*k))
	plot(x,y,type="l",xlim=xlim,ylim=ylim,main=maintitle)
	dev.off()
	filecounter<-filecounter+1
}


# cn波解
for(i in 1:length(ks)){
	k<-ks[i]
	a<-sqrt(1/k^2-1)
	b<-1
	x<--myu + 4/sqrt(a^2+b^2)*Re(myE(sqrt(a^2+b^2)/2*myu,k))
	y<--4*k/sqrt(a^2+b^2)*(cn(sqrt(a^2+b^2)/2*myu,k)-1)
	filename<-paste(filenameRoot,filecounter,filenameFoot)
	png(filename)
	maintitle=paste("cn_k=",k,"_sqrt(k)=",k^0.5,"_sqrt(2k)=",sqrt(2*k))
	plot(x,y,type="l",xlim=xlim,ylim=ylim,main=maintitle)
	dev.off()
	filecounter<-filecounter+1
}
  • 8. ベックルンド変換
    • ベックルンド変換によってできるポテンシャルmKdV方程式
    • 解は非線形で(なのに)重ね合わせられる
    • mKdV方程式に従う時間発展をする曲率の曲線の角函数はポテンシャルmKdV方程式の解になっている
  • 9. ダルブー変換
    • 非線形波動を対象にKdV,mKdV方程式を扱っている中で、ポテンシャルとも関係する形で見つけられたのがダルブー変換
    • 解の多重性と関係する
  • 10. 広田の方法
    • 多重ソリトン解をもたらす別法
  • 11. いろいろな幾何学
    • 群作用
      • 幾何において距離函数を定めると距離を変えないことに対応する「合同」が決まって、それは合同変換群を構成する。
      • 原点が変わらない合同変換群では、ベクトルの内積が保たれる。

回転も。

      • こちらで、ムーア近傍に距離定義を書いている
      • ということは、この距離定義を用いれば、2次元立方格子上の形状維持移動である、ライフゲームの『グライダー』(こちら)には合同変換群に属する行列が書けることになる(だろうか)
    • クライン幾何
      • 集合Xと群Gがあって、¥rho:G ¥times X ¥to Gなる¥rhoは推移的群作用だが、この¥rhoの性質を調べることをクライン幾何と言う。『Gを変換群としXを表現空間とするクライン幾何』と。
      • ユークリッド幾何は¥rhoが合同変換のとき(距離不変。点・直線・角・距離・面積が不変)
      • 相似幾何は¥rhoが相似変換のとき(距離定数倍。点・直線・角が不変、距離・面積は変化する)
      • 等積幾何は¥rhoが等積変換のとき(面積不変。(点・直線)・面積が不変、角は不変ではない)
      • アフィン幾何は¥rhoがアフィン変換のとき。アフィン変換は等積変換の拡張されたものともいえるが、点・直線が不変、距離・角度・面積は不変ではない)
  • 12. 等積幾何
    • 注意!本当かどうか不案内なままに、とりあえずメモし始めるので、以降の記述は(ほかの部分に増して)正誤に関して留意が必要!…たぶん大まかには大丈夫…
    • ユークリッド幾何での曲線
      • 曲線は曲率で決まり、同一の曲率を持つ曲線は重ね合わせられる、という話があった
      • これは、ユークリッド幾何(距離不変なクライン幾何)での合同が曲率の一致と同じであったことを意味している
      • 弧長径数が不変にできた
    • 等積幾何での曲線
      • ユークリッド幾何を等積幾何に置き換えてやる
      • 弧長径数に変わる不変量を導入する→等積アフィン径数
      • 曲率に変わる、曲線の合同に関する函数を導入する→等積アフィン曲率
      • フレネ標構→等積アフィン標構
      • ユークリッド幾何での円は、曲率一定→等積アフィン曲率が一定な曲線は二次曲線
      • 超幾何関数やガンマ関数が等積アフィン曲率に一定のルールを入れた場合の曲線に相当する
      • ユークリッド幾何で曲線の時間発展を見るときには、「等周条件(長さ不変、か)」があった→等積幾何では等積条件が必要
      • 等積幾何における曲線の時間発展はからmKdV方程式のようなものが出てきて、そこには、ソリトン解のようなものが存在する
  • 13. 相似幾何
    • 相似不変な径数は角函数(等積幾何の時と違って、ユークリッド幾何ですでに使っていたもの(そのときは変動していた)が不変径数となっている)
    • 相似フレネ標構
    • 相似曲率
    • 相似的等周条件
    • mKdV方程式のようなもの→セル・オートマトン化して超離散な方程式へ→渋滞学
    • 拡散方程式・熱伝導方程式へも
    • 正規分布型の式へ
  • 14. メビウス幾何
    • 相似幾何の拡張
    • 角度を変えない(共形)。有向角を変えない(等角)。
    • 共形変換に相似変換は含まれる
    • 曲線が乗っているR^2平面を複素平面と見立てると、この幾何はうまくいく点がある
    • 複素面だから、リーマン面とかが登場する
  • A. 展望 可積分幾何へ向けて
    • 曲線の微分位相幾何
    • 曲面のベックルンド変換
    • 差分幾何

2010-11-06 駆け足で読む『組みひもの数理』

ryamada222010-11-06

[][][]駆け足で読む『組みひもの数理』

大学教養・高校数学オリンピック向けの講義・セミナーを下敷きにした組みひもの話。
群とか、わからなくても、どういう方向でひもの話を抽象化したいのか、ということを理解するのにとてもよい。
ひもや紙などを実際にいじりながら読むと特にわかりやすいと思います。

  • 第1話 アルティンの組みひも群
    • Braid group
    • Wiki
    • 隣接するひもの交換、ただし上下の重なり(男前か女前か)の区別つき
    • 非対称群
      • 単位元あり
      • 結合法則あり
      • 逆元あり
      • 2本の組みひもの場合は、対称群だが、3本以上は非対称群
    • あみだくじはn本の並び方を入れ替える。n!通り
    • 組みひも群は、並び方の入れ替えにあたって、重ね方(男前か女前か)を区別する分、場合が増える
    • 組みひも関係式
      • ¥sigma_i ¥sigma_{i+1} ¥sigma_i = ¥sigma_{i+1} ¥sigma_i ¥sigma_{i+1}
      • ¥sigma_i ¥sigma_j= ¥sigma_j ¥sigma_i, |i-j| >1
    • 交叉・組み換えは組みひも的なこと。¥sigma_i ¥sigma_i^{-1}ではなくて、¥sigma_i ¥sigma_iのように、なっているのか・・・(こちらの図を以下に示す…)

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/45/Morgan_crossover_2.jpg/800px-Morgan_crossover_2.jpg

    • こうなっていれば、極体が引っ張れば、必然的に、モザイクができそう。絡んでいるから。もし、¥sigma_i ¥sigma_i^{-1}だと、するりとほどけてしまって、モザイクにならないだろう
    • コアレセントグラフは、塩基に関する木の透視図(重ね合わせ図)。これは、「組みひも」じゃなくて、「樹状物の組みひも様」とでもなるか…。「樹状物があみだくじ的に交換している(男前・女前を無視)様」とでもなるか…。すると、この「樹状物」には、「群」がある?それとも、別の演算ルールがある?
  • 第2話 リンクダイアグラムとライデマイスター移動
    • リンクダイアグラム
      • リンクはいくつかの結び目が互いに交わることなく絡み合ったもの
      • 輪ゴムのような「ほどけている結び目」を「自明な結び目」と呼ぶ
      • リンクは輪ゴムのような円が複数あるときにそれらを3次元空間に置いて、それを平面に投影したもの
      • リンクダイアグラムはその影について、重なりの上下関係がわかるように、下になる線が切れたように描いた図
    • ライデマイスター移動
      • リンクダイアグラムは、線が切れないように、線と線との重なり関係が変わらないように滑らせることで描かれ方が変わる
      • ライデマイスター移動はそんな滑らせ移動の実施パターンのことで3種類ある
    • 無向と有向
      • グラフには無向グラフと有向グラフがあるが、リンクにもある
      • 異なる結び目の間の有向リンクが作る交差点には2種類あり、正の交差点と負の交差点と呼ぶ
      • 絡み数={(正の交差点数)−(負の交差点数)}/2を定義すると、これは整数であって、ライデマイスター移動によって変わらない。リンクに関する不変量である
    • 結び目の合成と分解
      • 2つに分解すると、かならず片方が自明な結び目となるとき、その結び目は「素」な結び目と言う
    • 最小交点数
      • リンクダイアグラムはいろいろに描けるが、交点数を最小に描いたとして、その交点の数をそのリンクの最小交点数と言う
      • 最小交点数をそろえてリンク列挙することができる
      • グラフでノードの数(とエッジの数?)をそろえてそのパターンを列挙できるのと同じようなもの
  • 第3話 組みひもとリンク アレクサンダーの定理
    • 組みひもの両端をつなぐとリンクができる
    • アレクサンダーの定理
      • 『すべてのリンクはある組みひもの両端を閉じたものとしてあらわすことができる』
      • ただし、1対1対応ではない
      • さらに、一つのリンクは、組みひもの本数が異なる組みひもにも対応しうる
      • 異なる組みひもが同じリンクに対応するとき、組みひもに対応する組みひも群の要素の間には、操作が存在して、それを『マルコフの操作』と呼ぶ
      • リンクをある方法で開くと組みひもになる
      • 開くにあたり、リンクダイアグラム上の点と基準に、すべての線の回転方向が同じになるようにしてからその点を通る半直線で開く(回転方向が同じになるようにライデマイスター移動ができるのであるが…)
    • ザイフェルトサークルは有向リンクのダイアグラムの一つ
    • 座位フェルト曲面もそう
      • リンクは表裏の区別のある曲面の教会として表すことができる。この曲面は座位フェルトサークルに対応した何枚かの円板と、それらをつなぐひねりのあるバンドからなる
    • ブレイド(組みひも)指数
      • リンクに対応する組みひものうち、最小組みひも本数のものが必ずあるが、そのひもの本数
      • ブレイド指数とザイフェルトサークルの描き方の方法の数に関係がある
  • 第4話 カウフマンのブラケット多項式とジョーンズ多項式
    • カウフマンのステート模型
      • リンクダイアグラムの交差点を切り開く方法を、線の重なり具合2種に対応して2つ定義し、その切り開き方の組み合わせによって出来上がる2次元平面上の環の数とその相互位置関係が定める模型
      • 切り開き方は数え上げられるから、リンクごとにステート模型も数え上げられる
      • カウフマンのブラケット多項式(ブラケットを使った式で計算されるから、この呼称)
        • すべてのステート模型に関して得られるある値の総和は、リンクの不変量
          • ここでも不変量:いろいろな見方ができてしまうから、なんとか、「確定する値」に落としたい、ということ。ブレイド数もそう、絡み数もそう
    • ジョーンズ多項式
      • 有向リンクについてのカウフマンのブラケット多項式のようなもの(不変量)
      • ジョーンズ多項式は、1変数の多項式だが、その変数の値が1の3つの3乗根のいずれかであるとき、ジョーンズ多項式の値は1になる
      • これは、リンクが3次元の現象だから、その「3」が出てきている????
  • 第5話 組みひもと統計力学モデル
    • 点の生成・消滅過程
      • 生成
        • 組みひもを下から上へと眺めていくと、何もなかったところに点が現れ、それはすぐに2つの点に分かれることがある。これが生成
      • 消滅
        • 逆に2つの点が1つになって消えることもある。これが消滅
      • すれ違い
        • 2点がすれ違う様子は2通りで描ける
      • リンクダイアグラムに対応するグラフ
        • 点の生成・消滅・すれ違いを、それぞれ、ノードと見立てる
        • ただし、ノードは、生成・消滅・すれ違い(男前・女前を区別)ごとにことなるものとする
        • ボルツマンウェイト
          • リンクダイアグラムに対応するグラフのエッジに2状態(+,-)を考えると、スピンの上向き・下向き(イジングモデル)のように考えられる
          • 4種類のノード(生成・消滅・すれ違い2種類)には、そのノードに接続するエッジの+/-パターンで値を与えるものとする。この値の与え方をボルツマンウェイトと言う
          • ボルツマンウェイトを全ノードについて掛け合わせて、そのグラフの値を定める
          • すべてのスピン状態について考えて、それぞれのグラフの値の合算が、リンクダイアグラム(生成・消滅・すれ違い過程)の不変量(統計和・分配関数とも呼ばれる)
    • ブラケット多項式を与えるボルツマンウェイト
    • ライデマイスター移動に関する不変性とヤン-バクスター方程式
    • 分配関数としてのブラケット多項式
    • 組みひも群の行列表現
  • 第6話 ディラックのストリングゲームとベルトのトリック
    • ディラックのストリングゲーム:回転群の2価性
    • 球面組みひもとその自明
    • 群であることがよくわかる
  • 第7話 組みひもと4元数 スピノールの存在
    • 3次元空間での回転に関して演算を可能にする4元数
    • 4元数で考えると、球面組みひもが4元数a+ib+jc+kdの3つのi,j,kが表す3つの軸(正規直交)に関する回転として表せる
    • ちなみに、i,j,kは複素数のii^2=-1を満足するように、2回ひねると、ねじれつつも、「つりさげた板は裏側」というような関係に対応する
    • ぐるりと1回転(360度回転)すると元に戻るけれど正負が逆転することを2価表現と言う。このような特徴を持つ共変量をスピノールと。
  • 第8話 パウリのスピン行列 組みひもから4次元時空へ
    • 4元数による移動は、2x2行列の要素に複素数を使うことで扱える
    • 4元数は3次元空間と時間軸とに対応させられる
    • 光の速度を特別視するローレンツ変換(特別視しないのがガリレイ変換)
      • 動いている観測者の時間と静止している観測者の時間の違い
    • パウリのスピン行列
      • ローレンツ変換の具体例
      • 複素共役、エルミート行列
  • 第9話 自由群に作用する組みひも アレクサンダー多項式
    • 組みひもは「具体的」なもの
    • 組みひも群は組みひもの群表現
    • 自由群(Wiki)に対応させることで、抽象的に扱いやすくなる
  • 第10話 組みひもとトーラス
    • トーラス上の閉曲線が絡み合うことで組みひもが作れる
    • 楕円曲線とトーラスの関係
    • 組みひもの作用は楕円曲線の周期としてあらわせる
    • 組みひもの作用を表した行列がモジュラー群
    • トーラスと3本の組みひも
      • トーラスは2つの球面をそれぞれ2点を結ぶ線で穴をあけて、貼り合わせたもの
      • 2つの球面、4つの点で作られた
      • 4つの点のうち、1つは、無限遠点にして、残りの3点のまわりをまわることを考える
      • 点のまわり方は組みひもに対応できる
      • 今、3つの点を回るから3本の組みひもに対応する
      • トーラスで組みひもを考えるときは、3本の組みひものこと
      • 3つの点を基準にして、トーラス上の点を考える
      • トーラスは2つの球面の貼り合わせなので、それぞれの球面に由来する点のペアが、「3点との関係で対称的」
      • トーラスの面は「面」なので「2次元」
      • 「2次元」の座標は、複素数で考えれば、1つの複素数に対応させることができる(複素平面がそう)
      • トーラスの面も複素面で考える
      • 2つの球面に由来するので、「貼り合わせて」ある複素面
      • 貼り合わせたものは「リーマン面」
      • トーラス上に3つの点¥alpha,¥beta,¥gammaをとる
      • y,z,¥alpha,¥beta,¥gammaのいずれもが複素数
      • y^2=(z-¥alpha)(z-¥beta)(z-¥gamma)というような関数を作る
      • この式を満足する複素数のペア(y,z)は、一つのzに対して、2つのyが対応する
        • [tex;y=\pm \sqrt{(z-\alpha)(z-\beta)(z-\gamma)}]だから
      • (y,z)を図にしようと思うと、両方とも複素数で、それぞれの位置座標に2次元が必要なので、4次元空間が必要。それはちょっと難しいので、zに2次元(普通の複素平面を与え、yはその実部のみ(虚部のみでもいいが)を割り当てて「見える」ようにすることも可能。そんな絵が、こちら
  • 第11話 組みひも群のモノドロミー表現とタイルばり
  • 付録  結び目のバシリエフ不変量

2010-09-28 ATGCの複素数的取り扱い

[][]複素平面

  • 2次元情報を複素数で表わす
  • ATGCはA−T、G−Cがペアを成す
  • これを複素平面で表わす
  • 複素平面は「2次元ベクトル」の演算のための工夫
  • 多次元だとどうなる・・・
  • 複素数とその一般化はとりあえず気になる
  • こちらがATGC配列と相補鎖の複素平面的取り扱いに関する手慰み
  • 複素平面とフラクタルはこちら(など)
  • 複素平面の一般化に関して、方向が合っているかどうかは不明ながら、気になっていることが、「余弦」のこと(こちら