運動方程式とハミルトニアン その5

前回に続き,運動方程式とラグランジアン その5と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます
縦振動する梁について考えます
軸変形(伸縮)のみとし,E,A は一定とします

hamiltonian5.wxm

u, n, v : 梁の軸変位, 軸歪(∂u/∂x), 速度(du/dt)
g, γ : 重力加速度, 単位体積重量
%o1で,u, n, v, p が位置 x と時間 t に依存することを宣言します(画面出力は省略)
%o2で,ラグランジアンLが u, n, v に依存することを宣言します(画面出力は省略)
%o3で,ハミルトニアンHが u, n, p に依存することを宣言します(画面出力は省略)
任意断面の運動エネルギーTを%o4式にそれぞれ示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o5式にそれぞれ示します



ラグランジアンLの定義を%o6式に示します
TとUに%o4, 5式をそれぞれ代入した結果を%o7式に示します



運動量pの定義を%o8式に示します
これに%o7式を代入して偏微分を計算した結果を%o9式に示します



ラグランジアンLのルジャンドル変換をハミルトニアンHとして%o10式に示します
これに%o7, 9式を代入してまとめた結果を%o11式に示します
%o12式より,ハミルトニアンHはこの系全体のエネルギー( T + U )に相当することが解ります



ハミルトンの正準方程式を%o13, 14式に示します
%o14式にHとpを代入した結果を%o15式に示します
右辺を左辺に移項し,vをdu/dt, nを∂2u/∂x2で書き直したものを%o16式に示します


ということで,縦振動する連続体の梁の運動方程式が得られます