変分法その3 - Maximaでこうぞうりきがく

"その2"に引き続き，変分法の計算例のお話です

【最速降下曲線】
重力のみが作用する仮定で，任意の2点A, B（ポテンシャルはA>B）を考えます
物体がA点を速度0で出発してからB点に達するまでの所要時間が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です
答えは直線や円弧ではありません（'A`)
実際に変分法を使って計算してみましょう
brachistochrone curve.wxm

y : 曲線
y' : dy/dx
ds : 線素（line element）の長さ
g, m : 重力加速度と物体の質量
T : 所要時間
%o2にてyとy'がxに依存することを宣言します（画面出力は省略）
曲線yの線素dsの長さを%o3式に示します
dsを走過する時間dtの定義を%o4式に示します
運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの関係を%o5式に示します
上式を速度vについて解いた結果でdtを書き直したものを被積分関数Fとして%o6式に示します
形式的に書きますが，所要時間TはFの作用（区間A-Bの積分）として%o7式で与えられます
この汎関数Tを最小化する（Tの第一変分δT = 0 を満足する）yを求める問題ということになります

Fの作用を最小化する問題かつFがxに陽(explicit)に依存しないのでベルトラミの公式（Beltrami identity）が使えます(%o8)
Fを%o8式に代入して偏微分を計算し，ついでにy'も書き直した結果を%o10式に示します
aとgを書き換える新しい定数Aの定義を%o11式に示します
%o10式を%o11式の関係を使って%o12式に書き換えます
上式をdy/dxについて解いた結果%o13式を得ます