落体の運動 その4

前回に続き,落体の運動 その3と同じ空気抵抗を考慮した落体の運動のハミルトニアンを考えます
falling body4.wxm

x, v, p : それぞれ位置,速度,運動量ベクトル
g, m, a : 重力加速度,物体の質量および抵抗係数
%o5で,x, v, p が時間 t に依存することを宣言します(画面出力は省略)
運動エネルギーT,エネルギー散逸率D(単位はJ/s),ポテンシャルエネルギーUをそれぞれ%o5〜7式に示します
ラグランジアンLを%o8式に示します



運動量ベクトルpの定義より,Lのヤコビアンを計算した結果を%o9式に示します
(jacobian関数についてはヤコビ行列とヤコビアン その1を参照ください)
Lのルジャンドル変換をハミルトニアンHとして%o10式に示します
抵抗による散逸の項を含んだハミルトンの正準方程式を%o11式に示します( = 0(零ベクトル)は省略)
上式にHとpを代入してまとめた結果を%o12式に示します
vをdx/dtで書き直したものを%o13式に示します


ということで,前回と同じ運動方程式が得られます


以降の計算は変わらないので割愛します(´・ω・`)