共変および反変基底ベクトル

いままで基底ベクトルには正規直交基底ベクトルeを使ってきました
ここでは正規でも直交でもない，より一般的な基底ベクトルgについて考えます

covariant base.wxm

g : 共変基底ベクトル
G : 反変基底ベクトル
このgには共変基底ベクトル（covariant base vector）という立派な名前があります
gと対になる別の基底ベクトルGを用いて%o1式が成り立つとします
δ[ij] はクロネッカーのデルタ（Kronecker's delta）です（ i = j → 1, i ≠ j → 0 ）
free indexについて書き下すと 3 x 3 = 9個の式を得ます（%o2）
gの各成分を%t3〜5に，Gの各成分を%t6〜8にそれぞれ示します

%o2式を9個の連立方程式としてGの9個の成分について解きます（画面出力は省略）
求まった基底ベクトルGの成分をそれぞれ%o10〜12式に示します
このGは反変基底ベクトル（contravariant base vector）と呼ばれます

%o13にてベクトルの外積を返す関数crossを定義します（画面出力は省略）
gのスカラー三重積（scalar triple product）をVとして%o14式で定義します
反変基底ベクトルGは共変基底ベクトルgの外積と三重積を使って%o16〜18式で定義されます
実際に成分計算を行い，%o10〜12式とそれぞれ一致することを確認します（%o19〜21）

いま%o22〜24式に示す具体的な基底ベクトルの成分をgに代入します
三重積を計算した結果を示します（%o25）
反変基底ベクトルを計算した結果を%o26〜28式にそれぞれ示します

共変基底ベクトルgと反変基底ベクトルGをdraw3d関数を使ってplotします（%o29）
青色で描かれている矢印の組がgを，赤色の組がGをそれぞれ表します

e : 正規直交基底ベクトル
いま%o32〜34式に示す正規直交基底ベクトルの成分をgに代入します
このgの反変ベクトルを計算すると，元の正規直交基底ベクトルを得ます（%o36〜38）
もしeが任意の回転を受けてもe[i].e[j] = δ[ij]は自明であり，eは自分自身と双対関係にあることが解ります
なので正規直交基底ベクトルは G = g が成り立つ特別な基底ということになります

[追記]
ここでは共変／反変を文字の大小で表現していますが，一般的には添字の上げ下げで区別しますので注意してください（'A`)

非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎