2013-02-24

memo

・知ってはいたけど、これほど大切だとは思わなかった。
・知らなかったが、この経験で大切だと知った。
・知っており、実践したらその通り大切だった。

2012-06-16

メモ

確率過程は右連続で、フィルトレーションはusual conditonを仮定する。

確率過程Xが、局所劣マルチンゲールとなる必要十分条件は、局所マルチンゲールと予測可能increasing過程(locally integrable?)の和に分解できること。特に、この分解は一意的である。

classDLの劣マルチンゲールに対して、マルチンゲールとnatural increasing過程の和に分解できる。
classDの劣マルチンゲールに対して、一様可積分マルチンゲールとnatural integrable increasing過程の和に分解できる。特に、これらの分解は一意的である。

注.　任意のnaturalな過程(integrable?)は、予測可能である。したがって、より限定された分解になっている。逆は一般には言えないが、integrableかつpredictableなincreasing過程は、naturalである。

有界停止時刻→有限停止時刻→停止時刻、classDL←classD　任意のマルチンゲールはclassDLに属する。
integrableの定義は、「各tについて期待値が有限」なのか、「極限が存在して、期待値が有限」なのか？前者はIkeda-Watanabeで採用しているが、それに関連してところどころ、怪しい主張がある。

例えば、必要ならば局所化してintegrableを確保して、natural increasing processはpredictableであるから、その和もpredictable(？)で、原点を出発する予測可能有界変動局所マルチンゲールは０だけなので、一意性がいえるみたいな。

Foundations of Modern Probability (Probability and Its Applications)

作者: Olav Kallenberg
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2012-06-09

メモ

Lévy's characterization of Brownian Motionの証明の途中で疑問があったらしい。連続局所マルチンゲールで、その二次変分がtで与えられるとき、このprocessは二乗可積分マルチンゲールになるという部分。

二乗可積分であることは、二次変分が任意の時点で有限であることから明らか。したがって、マルチンゲールであることを示せばよい。

今、processが連続局所マルチンゲールであることから、適当な停止時刻に対するstopped processは、連続マルチンゲールとなる。したがって、このprocessはclass DLとなる。これより任意の有界停止時刻で添字つけた族が、一様可積分性を満たす。各時点tを固定した時、局所マルチンゲール性から存在がいえるstopping timeの増大列に対するstopped process(正確には確率変数)の族を考えると、上の結果より一様可積分性がいえる。したがって、nを無限大にした時、processの連続性から概収束極限が存在し、一様可積分よりL1収束も成立する。したがって、stopped processにおいてはマルチンゲールがあるので、両辺nについて極限を取ると、もとのprocessについてもマルチンゲールであることが言える。

ところがこれだと、連続局所マルチンゲールはマルチンゲールであることが言えてしまう。からしゅれのp.36のremarkに反例らしきものが存在することが示唆されているのでだめっぽい。

あと確率過程に対する二乗可積分という性質は、からしゅれとRevuz and Yor, Jacod and Shiryaevで定義が違っているのに気がついた。後者の定義だと、ブラウン運動は二乗可積分ではなくなってしまうので、有限区間で考えるとか局所化するなどの方法をとっている。

上の結果から一様可積分は言えなかった、どうすればいいんだろう。

結局、有限空間で考えれば十分だった。［0,∞)区間だと、L^2有界が必要で、それだと一様可積分性が成立するのでOK。