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数検に挑戦!

2008-11-29

第161回数検1級二次問題1

10:02

【問題】

nを2以上の整数とするとき、分数

¥frac{15n+2}{14n+3}

が可約分数となるようなnの一般形を求めなさい。

また、そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい。

【解答】

与えられた分数が可約分数であるから、その分母、分子の公約数をkとすると、ある正の整数m,lを用いて、

15n+2=km14n+3=kl

と書ける。この2式より、

n=k(m-l)+1

が得られるから、これを与えられた分数に代入すると、

¥begin{eqnarray*}¥frac{15n+2}{14n+3} &=& ¥frac{15(k(m-l)+1)+2}{14(k(m-l)+1)+3} ¥¥ &=& ¥frac{15k(m-l)+17}{14k(m-l)+17} ¥end{eqnarray*}

したがって、kが17の倍数なら、与えられた分数は可約分数である。

よって、n=17m+1mは1以上の整数)である。・・・(答え)

これを与えられた分数に代入すると、

¥begin{eqnarray*}¥frac{15n+2}{14n+3} &=& ¥frac{15(17m+1)+2}{14(17m+1)+3} ¥¥ &=& ¥frac{17(15m+1)}{17(14m+1)} ¥¥ &=& ¥frac{15m+1}{14m+1} ¥end{eqnarray*}・・・(答え)

(追記)

¥frac{15m+1}{14m+1}が既約分数であることを示しておかなければならない。

背理法により示す。もし¥frac{15m+1}{14m+1}が可約分数であるとすると、

15m+114m+1最大公約数kとして、整数l,l’を用いて、

15m+1=kl14m+1=kl’と書ける。この2式より

m=k(l-l’)であるから、

¥begin{eqnarray*}¥frac{l}{l’} &=& ¥frac{15m+1}{14m+1} ¥¥ &=& ¥frac{15k(l-l’)+1}{14k(l-l’)+1} ¥end{eqnarray*}

これより、

14k(l-l’)+l=15kl’(l-l’)+l’

(14kl+1)(l-l’)=15kl’(l-l’)

15m+1 ¥neq 14m+1であるから、l ¥neq l’。したがって、上式の両辺をl-l’で割ることができて、

14kl+1=15kl’

を得る。この右辺はkの倍数であるが、左辺はそうではない。これは矛盾である。

したがって¥frac{15m+1}{14m+1}は既約分数である。

2008-11-23

第161回数検1級一次問題4

13:38

【問題】

次の行列Aの階数(rank)を求めなさい。

f:id:sukenchallenge:20081123133319g:image

【解答】

行列Aを次のように変形する。

f:id:sukenchallenge:20081123133320g:image

¥downarrow

f:id:sukenchallenge:20081123133321g:image

¥downarrow

f:id:sukenchallenge:20081123133322g:image

よって、y+xz=0ならrankA=2y+xz ¥neq 0ならrankA=4

第161回数検1級一次問題3

12:47

【問題】

¥omegax^3=1虚数解の1つとするとき、次の行列式Dの2乗の値は?

f:id:sukenchallenge:20081123124845g:image

【解答】

¥omega^2+¥omega+1=0なる式を元に、行列式を変形する。

f:id:sukenchallenge:20081123124636g:image

f:id:sukenchallenge:20081123124637g:image

2008-11-16

第161回数検1級一次問題2

00:09

【問題】

f:id:sukenchallenge:20081117000230g:imageを求めよ。

【解答】

f:id:sukenchallenge:20081117000231g:image

f:id:sukenchallenge:20081117000232g:image

f:id:sukenchallenge:20081117000233g:image

f:id:sukenchallenge:20081117000234g:image

f:id:sukenchallenge:20081117000802g:image

2008-11-15

第161回数検1級一次問題1

16:22

【問題】

次の連立方程式の実数解を求めよ。

f:id:sukenchallenge:20081115161647g:image

f:id:sukenchallenge:20081115161648g:image

【解答】

f:id:sukenchallenge:20081115161649g:image

f:id:sukenchallenge:20081115161650g:image

f:id:sukenchallenge:20081115161651g:image

f:id:sukenchallenge:20081115161653g:image

f:id:sukenchallenge:20081115161654g:image

f:id:sukenchallenge:20081115161655g:image

答えはf:id:sukenchallenge:20081115161656g:image

第161回数検1級一次問題7

11:11

【問題】

f:id:sukenchallenge:20081114144434g:imageにおける微分方程式

  f:id:sukenchallenge:20081114145159g:image

を満たし、2点境界条件f:id:sukenchallenge:20081114144436g:image,f:id:sukenchallenge:20081114144437g:imageを満たす解f:id:sukenchallenge:20081114144438g:imageを求めなさい。

【解答】

f:id:sukenchallenge:20081114144439g:imageとすると、f:id:sukenchallenge:20081114144731g:imageであり、

境界条件f:id:sukenchallenge:20081114144732g:imageは満たすが、f:id:sukenchallenge:20081114144733g:imageなので、f:id:sukenchallenge:20081114144734g:imageは満たさない。

そこでf:id:sukenchallenge:20081114144735g:imageとしてみる。

f:id:sukenchallenge:20081114144736g:imageであり、f:id:sukenchallenge:20081114144737g:imageであるから、f:id:sukenchallenge:20081114144738g:imageとすればよい。

答えは、f:id:sukenchallenge:20081114144739g:image

最近、はてなDiaryのmimeTeXの動作がよくないので、数式の画像を別に作成してアップし直した。

mimetexApacheを使う。

Windowsだとhttp://www.forkosh.com/mimetex.htmlから下の方にあるPrecompiled Binaries...から

ダウンロードするのが楽。解凍すると、mimetex.exeがある。

それからApache2.2.10をダウンロードしてインストールcgi-binフォルダの下に先ほど解凍したmimetex.exeをコピーするだけ。

実行はhtmlファイルに

f:id:sukenchallenge:20081115110846j:image

のように書いて、ブラウザで開くだけ。mimetex.exe?の後ろから"までの間にTeXの式を書く。

書き方ははてなmimetexとほぼ同じだと思う(mimetexなので当たり前か)。

ブラウザには数式が表示されるので、右クリックで「名前をつけて画像を保存」すればよい。

はてなブログ作成時にその画像を貼り付けるとできあがり。

2008-11-10

第161回数検1級一次問題5

22:51

【問題】

4次方程式x^4-4x-1=0の実数解と虚数解を求める。

【解答】

この解答は、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htmを参考にしています。

一般に4次方程式 x^4+px^2+qx+r=0に対して、 q^2-4(2¥lambda-p)(¥lambda^2-r)=0

4次方程式の分解方程式という。このような解 ¥lambdaがあれば、

 (x^2+¥lambda)^2=x^4+2¥lambda x^2+¥lambda^2=(2¥lambda-p)x^2-qx+¥lambda^2-r=(mx+n)^2

となる m,nが存在し、4次方程式は2つの2次方程式の問題に帰着する。

与えられた4次方程式をこの分解方程式に当てはめると、

(-4)^2-4(2¥lambda-0)(¥lambda^2+1)=16-8¥lambda(¥lambda^2+1)=0

 2-¥lambda(¥lambda^2+1)=0

¥lambda^3+¥lambda-2=0

 (¥lambda-1)(¥lambda^2+¥lambda+2)=0

分解方程式の解の1つが ¥lambda=1であるから、

(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1

      =(4x+1)+2x^2+1(元の4次方程式より)

      =2(x+1)^2

x^2+1=¥pm¥sqrt{2}(x+1)

よって次の2次方程式に帰着される。

x^2¥mp¥sqrt{2}x +(1¥mp¥sqrt{2})=0

複号のマイナス側から実数解が求まる。

x^2-¥sqrt{2}x +(1-¥sqrt{2})=0

x=¥frac{1}{2}(¥sqrt{2¥pm¥sqrt{2-4(1-¥sqrt{2})})

  =¥frac{¥sqrt{2}}{2}(1¥pm¥sqrt{(2¥sqrt{2}-1)})

複号のプラス側から虚数解が求まる。

x^2+¥sqrt{2}x +(1+¥sqrt{2})=0

x=¥frac{1}{2}(- ¥sqrt{2}¥pm¥sqrt{2-4(1+¥sqrt{2}))

  =-¥frac{¥sqrt{2}}{2}(1¥mp¥sqrt{1+2¥sqrt{2}}i)