Hatena::ブログ(Diary)

数検に挑戦!

2008-09-14

数検1級一次過去問(3)

00:38

【問題】

Find all the positive integral solutions(x,y) of the indefinite equation

  2xy-2y^2+15y-9x=30

【解答】

与えられた方程式を次のように変形する。

  (x-y+3)(2y-9)=3   ・・・(1)

x,yは正の整数であるから、次の4通りのいずれかである。

  x-y+3=3 , 2y-9=1

  x-y+3=1 , 2y-9=3

  x-y+3=-3 , 2y-9=-1

  x-y+3=-1 , 2y-9=-3

それぞれの場合を解くと、

  x=5 , y=5

  x=4 , y=5

  x=-2 , y=4

  x=-1 , y=3

x,yとも正であることから、上の2つが解である。

-----------------------------------

ところで、(1)式は、次のようにして求めた。

元の式の左辺が(ax+by+c)(dy+e)と書けたとすると、それを展開した式

  adxy+aex+bdy^2+(be+cd)y+ce

と、元の方程式の左辺と係数を比較すると、

  ad=2 , ae=-9 , bd=-2 , be+cd=15

これから、係数の1つとして、a=1 , d=2 , e=-9 , b=-1が出る。これを

be+cd=15に代入して、c=3。したがって

  2xy-9x-2y^2+15y-27

となるが、これはもとの方程式の左辺と定数部分だけ異なる。それを補正すると、

(1)式になる。

トラックバック - http://d.hatena.ne.jp/sukenchallenge/20080914/1221406731