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数検に挑戦!

2008-11-10

第161回数検1級一次問題5

22:51

【問題】

4次方程式x^4-4x-1=0の実数解と虚数解を求める。

【解答】

この解答は、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htmを参考にしています。

一般に4次方程式 x^4+px^2+qx+r=0に対して、 q^2-4(2¥lambda-p)(¥lambda^2-r)=0

4次方程式の分解方程式という。このような解 ¥lambdaがあれば、

 (x^2+¥lambda)^2=x^4+2¥lambda x^2+¥lambda^2=(2¥lambda-p)x^2-qx+¥lambda^2-r=(mx+n)^2

となる m,nが存在し、4次方程式は2つの2次方程式の問題に帰着する。

与えられた4次方程式をこの分解方程式に当てはめると、

(-4)^2-4(2¥lambda-0)(¥lambda^2+1)=16-8¥lambda(¥lambda^2+1)=0

 2-¥lambda(¥lambda^2+1)=0

¥lambda^3+¥lambda-2=0

 (¥lambda-1)(¥lambda^2+¥lambda+2)=0

分解方程式の解の1つが ¥lambda=1であるから、

(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1

      =(4x+1)+2x^2+1(元の4次方程式より)

      =2(x+1)^2

x^2+1=¥pm¥sqrt{2}(x+1)

よって次の2次方程式に帰着される。

x^2¥mp¥sqrt{2}x +(1¥mp¥sqrt{2})=0

複号のマイナス側から実数解が求まる。

x^2-¥sqrt{2}x +(1-¥sqrt{2})=0

x=¥frac{1}{2}(¥sqrt{2¥pm¥sqrt{2-4(1-¥sqrt{2})})

  =¥frac{¥sqrt{2}}{2}(1¥pm¥sqrt{(2¥sqrt{2}-1)})

複号のプラス側から虚数解が求まる。

x^2+¥sqrt{2}x +(1+¥sqrt{2})=0

x=¥frac{1}{2}(- ¥sqrt{2}¥pm¥sqrt{2-4(1+¥sqrt{2}))

  =-¥frac{¥sqrt{2}}{2}(1¥mp¥sqrt{1+2¥sqrt{2}}i)

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