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数検に挑戦!

2008-11-29

第161回数検1級二次問題1

10:02

【問題】

nを2以上の整数とするとき、分数

¥frac{15n+2}{14n+3}

が可約分数となるようなnの一般形を求めなさい。

また、そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい。

【解答】

与えられた分数が可約分数であるから、その分母、分子の公約数をkとすると、ある正の整数m,lを用いて、

15n+2=km14n+3=kl

と書ける。この2式より、

n=k(m-l)+1

が得られるから、これを与えられた分数に代入すると、

¥begin{eqnarray*}¥frac{15n+2}{14n+3} &=& ¥frac{15(k(m-l)+1)+2}{14(k(m-l)+1)+3} ¥¥ &=& ¥frac{15k(m-l)+17}{14k(m-l)+17} ¥end{eqnarray*}

したがって、kが17の倍数なら、与えられた分数は可約分数である。

よって、n=17m+1mは1以上の整数)である。・・・(答え)

これを与えられた分数に代入すると、

¥begin{eqnarray*}¥frac{15n+2}{14n+3} &=& ¥frac{15(17m+1)+2}{14(17m+1)+3} ¥¥ &=& ¥frac{17(15m+1)}{17(14m+1)} ¥¥ &=& ¥frac{15m+1}{14m+1} ¥end{eqnarray*}・・・(答え)

(追記)

¥frac{15m+1}{14m+1}が既約分数であることを示しておかなければならない。

背理法により示す。もし¥frac{15m+1}{14m+1}が可約分数であるとすると、

15m+114m+1最大公約数kとして、整数l,l’を用いて、

15m+1=kl14m+1=kl’と書ける。この2式より

m=k(l-l’)であるから、

¥begin{eqnarray*}¥frac{l}{l’} &=& ¥frac{15m+1}{14m+1} ¥¥ &=& ¥frac{15k(l-l’)+1}{14k(l-l’)+1} ¥end{eqnarray*}

これより、

14k(l-l’)+l=15kl’(l-l’)+l’

(14kl+1)(l-l’)=15kl’(l-l’)

15m+1 ¥neq 14m+1であるから、l ¥neq l’。したがって、上式の両辺をl-l’で割ることができて、

14kl+1=15kl’

を得る。この右辺はkの倍数であるが、左辺はそうではない。これは矛盾である。

したがって¥frac{15m+1}{14m+1}は既約分数である。

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