第161回数検1級二次問題1
【問題】
を2以上の整数とするとき、分数
が可約分数となるようなの一般形を求めなさい。
また、そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい。
【解答】
与えられた分数が可約分数であるから、その分母、分子の公約数をとすると、ある正の整数を用いて、
、
と書ける。この2式より、
が得られるから、これを与えられた分数に代入すると、
したがって、が17の倍数なら、与えられた分数は可約分数である。
よって、(は1以上の整数)である。・・・(答え)
これを与えられた分数に代入すると、
・・・(答え)
(追記)
が既約分数であることを示しておかなければならない。
背理法により示す。もしが可約分数であるとすると、
との最大公約数をとして、整数を用いて、
、と書ける。この2式より
であるから、
これより、
であるから、。したがって、上式の両辺をで割ることができて、
を得る。この右辺はの倍数であるが、左辺はそうではない。これは矛盾である。
したがっては既約分数である。
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第161回数検1級一次問題1
【問題】
次の連立方程式の実数解を求めよ。
【解答】
第161回数検1級一次問題7
【問題】
における微分方程式
を満たし、2点境界条件,を満たす解を求めなさい。
【解答】
とすると、であり、
境界条件は満たすが、なので、は満たさない。
そこでとしてみる。
であり、であるから、とすればよい。
答えは、
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最近、はてなDiaryのmimeTeXの動作がよくないので、数式の画像を別に作成してアップし直した。
mimetexとApacheを使う。
Windowsだとhttp://www.forkosh.com/mimetex.htmlから下の方にあるPrecompiled Binaries...から
ダウンロードするのが楽。解凍すると、mimetex.exeがある。
それからApache2.2.10をダウンロードしてインストール。cgi-binフォルダの下に先ほど解凍したmimetex.exeをコピーするだけ。
実行はhtmlファイルに
のように書いて、ブラウザで開くだけ。mimetex.exe?の後ろから"までの間にTeXの式を書く。
書き方ははてなのmimetexとほぼ同じだと思う(mimetexなので当たり前か)。
ブラウザには数式が表示されるので、右クリックで「名前をつけて画像を保存」すればよい。
はてなブログ作成時にその画像を貼り付けるとできあがり。
第161回数検1級一次問題5
【問題】
4次方程式の実数解と虚数解を求める。
【解答】
この解答は、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htmを参考にしています。
一般に4次方程式に対して、を
4次方程式の分解方程式という。このような解があれば、
となるが存在し、4次方程式は2つの2次方程式の問題に帰着する。
与えられた4次方程式をこの分解方程式に当てはめると、
分解方程式の解の1つがであるから、
(元の4次方程式より)
よって次の2次方程式に帰着される。
複号のマイナス側から実数解が求まる。
複号のプラス側から虚数解が求まる。
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