第161回数検1級二次問題1

【問題】
nを2以上の整数とするとき、分数
\frac{15n+2}{14n+3}
が可約分数となるようなnの一般形を求めなさい。
また、そのときこの分数を約分して既約分数とした分数を求めなさい。

【解答】
与えられた分数が可約分数であるから、その分母、分子の公約数をkとすると、ある正の整数m,lを用いて、
15n+2=km14n+3=kl
と書ける。この2式より、
n=k(m-l)+1
が得られるから、これを与えられた分数に代入すると、
\begin{eqnarray*}\frac{15n+2}{14n+3} &=& \frac{15(k(m-l)+1)+2}{14(k(m-l)+1)+3} \\ &=& \frac{15k(m-l)+17}{14k(m-l)+17} \end{eqnarray*}
したがって、kが17の倍数なら、与えられた分数は可約分数である。
よって、n=17m+1mは1以上の整数)である。・・・(答え)
これを与えられた分数に代入すると、
\begin{eqnarray*}\frac{15n+2}{14n+3} &=& \frac{15(17m+1)+2}{14(17m+1)+3} \\ &=& \frac{17(15m+1)}{17(14m+1)} \\ &=& \frac{15m+1}{14m+1} \end{eqnarray*}・・・(答え)

(追記)
\frac{15m+1}{14m+1}が既約分数であることを示しておかなければならない。
背理法により示す。もし\frac{15m+1}{14m+1}が可約分数であるとすると、
15m+114m+1の最大公約数をkとして、整数l,l'を用いて、
15m+1=kl14m+1=kl'と書ける。この2式より
m=k(l-l')であるから、
\begin{eqnarray*}\frac{l}{l'} &=& \frac{15m+1}{14m+1} \\ &=& \frac{15k(l-l')+1}{14k(l-l')+1} \end{eqnarray*}
これより、
14k(l-l')+l=15kl'(l-l')+l'
(14kl+1)(l-l')=15kl'(l-l')
15m+1 \neq 14m+1であるから、l \neq l'。したがって、上式の両辺をl-l'で割ることができて、
14kl+1=15kl'
を得る。この右辺はkの倍数であるが、左辺はそうではない。これは矛盾である。
したがって\frac{15m+1}{14m+1}は既約分数である。

第161回数検1級一次問題7

【問題】
における微分方程式
  
を満たし、2点境界条件,を満たす解を求めなさい。
【解答】
とすると、であり、
境界条件は満たすが、なので、は満たさない。
そこでとしてみる。
であり、であるから、とすればよい。
答えは、

最近、はてなDiaryのmimeTeXの動作がよくないので、数式の画像を別に作成してアップし直した。
mimetexApacheを使う。
Windowsだとhttp://www.forkosh.com/mimetex.htmlから下の方にあるPrecompiled Binaries...から
ダウンロードするのが楽。解凍すると、mimetex.exeがある。
それからApache2.2.10をダウンロードしてインストール。cgi-binフォルダの下に先ほど解凍したmimetex.exeをコピーするだけ。
実行はhtmlファイルに

のように書いて、ブラウザで開くだけ。mimetex.exe?の後ろから"までの間にTeXの式を書く。
書き方ははてなmimetexとほぼ同じだと思う(mimetexなので当たり前か)。
ブラウザには数式が表示されるので、右クリックで「名前をつけて画像を保存」すればよい。
はてなブログ作成時にその画像を貼り付けるとできあがり。

第161回数検1級一次問題5

【問題】
4次方程式x^4-4x-1=0の実数解と虚数解を求める。
【解答】
この解答は、http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ferrari/ferrari.htmを参考にしています。

一般に4次方程式 x^4+px^2+qx+r=0に対して、 q^2-4(2\lambda-p)(\lambda^2-r)=0
4次方程式の分解方程式という。このような解 \lambdaがあれば、
 (x^2+\lambda)^2=x^4+2\lambda x^2+\lambda^2=(2\lambda-p)x^2-qx+\lambda^2-r=(mx+n)^2
となる m,nが存在し、4次方程式は2つの2次方程式の問題に帰着する。

与えられた4次方程式をこの分解方程式に当てはめると、
(-4)^2-4(2\lambda-0)(\lambda^2+1)=16-8\lambda(\lambda^2+1)=0
 2-\lambda(\lambda^2+1)=0
\lambda^3+\lambda-2=0
 (\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+2)=0
分解方程式の解の1つが \lambda=1であるから、
(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1
      =(4x+1)+2x^2+1(元の4次方程式より)
      =2(x+1)^2
x^2+1=\pm\sqrt{2}(x+1)
よって次の2次方程式に帰着される。
x^2\mp\sqrt{2}x +(1\mp\sqrt{2})=0
複号のマイナス側から実数解が求まる。
x^2-\sqrt{2}x +(1-\sqrt{2})=0
x=\frac{1}{2}(\sqrt{2\pm\sqrt{2-4(1-\sqrt{2})})
  =\frac{\sqrt{2}}{2}(1\pm\sqrt{(2\sqrt{2}-1)})
複号のプラス側から虚数解が求まる。
x^2+\sqrt{2}x +(1+\sqrt{2})=0
x=\frac{1}{2}(- \sqrt{2}\pm\sqrt{2-4(1+\sqrt{2}))
  =-\frac{\sqrt{2}}{2}(1\mp\sqrt{1+2\sqrt{2}}i)