今年度は，前期の講義でも後期の講義でも，90分の授業の中で，開始30分後ごろと60分後ごろに，1回につき3〜5分程度の余談を話しています．余談といっても，スライドを作り，話す内容を入念に準備した上でのことです．言わば「気合いを入れて用意した余談」です．
昨日の授業で，例の問いを取り上げました．以下はそのスライドとスピーチ案です．
「それではいつもの余談です．
先月，ネット上でちょっと賑わった，小学校の算数の問題があります．
問題文としては，「さらが ５まい あります．１さらに りんごが ３こずつ のって います．りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう．」と書かれています．文章題ですね．「何」だけ漢字というところからすると，小学校2年生の問題のようです．
「しき」と「こたえ」を書く欄があって，ある子が，式に「５×３＝１５」，答えに「１５こ」と書いたのでしょう．答えのほうはマルなのですが，式のほうは大きくバツがついていて，「３×５＝１５」と添えられています．
ネットではこの画像，「マルにせよ」の声が多数です．さてどうしましょう．
出題意図はですね，“「１つ分の大きさ」×「いくつ分」＝「全体の大きさ」”というのを使って，式を立てる問題だということです．そして「５×３＝１５」と書いたらバツにするという意図も見えます．図にしてみました．
まずオレンジ色の丸は，“「１つ分の大きさ」が（１皿あたり）３個，「いくつ分」が５枚なので，「しき」は「３×５＝１５」”ということです．
次に青緑の丸はですね，“かけ算で求められるので，問題文から「５」と「３」を順に取り出し，「しき」は「５×３＝１５」”とみなされます．なるほどこれは，式にして式にあらずですね．
あとまあ灰色として，他の誤答や白紙答案も書いておきます．ここはそんなに重要じゃありません．
というそんな状況に対して，別解が現れます．
この水色の丸のような考え方です．この段階では，線で結んではいません．
どういうことかというと，“皿に順にりんごを配るのをイメージすると”…分かりにくいですか．まずお皿を5枚，用意します（手で大きな丸を5つ描く）．次にですね，りんごを，まず1個ずつ，それぞれのお皿に乗せます（描いた「皿」それぞれの上に，小さな丸を描く）．2回目（同），3回目（同）と配っていけば．「さらが ５まい」で「１さらに りんごが ３こずつ」という状態になります．ちなみにこれは，皿にりんごを乗せていくと言うより，トランプで，カードを参加者に順に配っていくのを想像するのがいいでしょう．「トランプ配り」と呼ぶ人もいます．
吹き出しに戻ると，これで，“「１つ分の大きさ」が（１回で配る）５個，「いくつ分」が３回なので，「しき」は「５×３＝１５」”ということです．なるほど，うまい考え方です．
とはいうものの，この水色の答案を，マルにするかバツにするかは，ちょっと考えないといけません．
正解・不正解の線引きの仕方のひとつは，こうです．
水色の求め方といっても，青緑の誤答と，「式」として書くのはまったく同じです．限られた回答欄，そして先生の採点なんて一瞬でしますのでね，そういう意図が伝わらず，バツになってしまう．これが線引きのしかたの一つです．
また別の線引きができます．水色の考え方は，“「１つ分の大きさ」×「いくつ分」＝「全体の大きさ」”という式の立て方として合っているのだから，正解とすべきだ，そしてだから，青緑のも同様に正解とすべきだ，という主張です*1．
それでどう線引きをすべきかなのですが，ちょっと大人の論理を入れて，もう一つの別解を与えることにします．この赤丸です．
吹き出しに書いたとおりです．オレンジの丸も青色の丸も，式の立て方としては正しいのですが，2つを比較してみると，青丸のほうは青緑の丸と誤解される可能性がある，それに対してオレンジ色の丸は，そういう勘違いをされる余地がない*2，というところまで考えて，オレンジ色のほうを選んで，式は「３×５＝１５」とします．
この丸と線の構造は，離散数学の授業で学びましたか? ハッセ図ですね．そして，ちゃんと順序関係を入れれば，束となります．オレンジ色と水色の丸の間には，どちらが上位かという関係はありませんので，半順序集合とも言えます．
この別解に基づいて，線を引くと，こうなります．ここで1点，重要な限定が必要です．あなたは採点する側ではなく，解く側であるということ，言い換えると，答案を先生に差し出す側と仮定して，どう書けばマルになり，どう書けばバツになるかを，イメージするのです．
そうすると，さっきの線引き1，線引き2の2種類が考えられますが，マルをもらう可能性を少しでも高めるなら，オレンジか赤の丸の解法をとればよいとなります．
より厳密には，コスト最小で正解にたどり着くならオレンジ，きちっと考え抜いた上で正解を求めるのなら赤です．
しかしそれにしても，赤で答えた場合，水色や青緑のような考え方をいちいちしないといけないのか，答えに現れないのだから面倒なだけじゃないか…と思ったとしたら，2つアドバイスができます．低コストで正解が出てくる，オレンジ色の解き方に習熟すればいいのです．もう一つは，これまた大人の論理ですが，大学生活というのは，試験もそうだし，研究もそうだし，そもそも受験のころから，たくさんある正解の可能性の中で，いろいろな制約をもとに一つに絞って答案やレポート，論文*3として，形にするというのが日常当たり前なのです．
小学校の算数の問題でも，こういう視点で考えると，我々の問題解決に役立つなあと考えまして，本日の余談とした次第です．
まとめです．この問いに対して，正解とすべきだとする主張の何割かが，「かけ算には交換法則がある」というのを根拠にしています．積の可換性とか可換律とも言います．算数・数学の重要な性質ですが，この問題は，交換法則を一切考えずに議論できます．青丸のいわゆるトランプ配りも，交換法則に由来していないのです．「５×３と３×５は一緒じゃないか」という見方は，表面的な見方でしかありません．「本質」をつかみましょう．
と言いたいのですが，世の中の問題に対して「本質」は，解こうとする人それぞれだというのも，よくあることです．私なりに思う，この問題の本質は，あるセッティング*4と限られたスペースの中でどうやって，正解と認めてもらえる答案を書けばよいかということになります．強調しておきますが，この考え方は，算数とか授業とかいうよりも，研究者として論文を書いているときにしょっちゅう発生する，問題意識なのです．
プログラミングとしては，こういうアドバイスもできそうです．正解だけでなく，間違いにも目を向けてみましょう．正解になる振る舞いは正常系と言います．間違いになる振る舞いは異常系と言います．正解のものは正解として扱い，正解でないものが来たときには…例えば不正な入力なんかがあったときに…きちっと「おかしい」と検出して，正解とは別の処理にすること．そういうのの確認作業は，ソフトウェアテストという開発工程の一つと，密接な関係があります．
現実世界では，青色の丸の解き方のように，これは正常系なのかそれとも異常系とすべきか，判断の難しいところがあります．しかしきちっと方針を定めて，毅然とした対応ができるよう，あらかじめ設計をすることで，「システム」は万全になるのです．
補足
ベースは正解・不正解の線引きです．まったく新しい情報がないのかというとそうでもなく，この問題に対する積の可換性の貢献（この点の初出は多次元配列の要素数・再考の「脱線して」から始まる段落です）を，取り入れています．
実際の授業では，「もう一つの別解」のスライドを出す前に，「続きは2回目の余談でお話ししましょう」と言いました．室内から，ちょっと，どよめきの声がありました．
最後の段落は，教育の言葉にすると「学ぶ側は教える側のことを考え，教える側は学ぶ側のことを考えよ」です．といっても特に有名な格言というわけではなく，今思いついたのでした．高校の柔道部でだったか，「稽古は試合のように，試合は稽古のように」と教わったのを，思い出します．
あと当雑記の発言録ではいつものことですが，上記の通りにしゃべったというわけではなく，こういうスピーチ案を作った上で授業でしゃべったというのでもなく，それなりに準備して聞き手の前でしゃべり，あとで復元しながら，言うべきだったことを付け加えています．
*1:余談の上の余談ですが，灰色の丸は，このスライドで，正解・不正解の線引きを示すために，必要となっています．
*2:気になった方は，「×」から学んだことの「Q: 問題の画像から，あなたは何を読み取りましたか?」に対する答えをご確認ください．
*3:小学校教育を専門とせず，「丸にせよ」と主張する研究者の方へ：自分はこれがベストの表現・構成と思っても，校閲者（指導者）や査読者の指示に従って書き直した経験はありませんか? 査読に通ることや，出版後により多くの読者に理解してもらえることを念頭に置いて，表現・構成を，ふだんから考えているのではありませんか?
*4:「暗黙の了解事項」と書く方がいいのかな．もちろん，これが違う（統一・明確化されていない）点が，論争となった原因の一つなのですが．
