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2012年01月25日

[] アレイ図

当記事は古い内容となっています.アレイ図 (2015.12)が最新です.

1. アレイ図とは

アレイ図とは,同一のものを,長方形のように配列してできる図のことです.

長方形」という言葉を使わずに,説明するなら,アレイ図と九九の構成|算数用語集の記述を使って,同一のものを「縦横に規則正しく並べた図」と言うのがいいでしょう.

“同一のもの”には,丸印(●または○)がよく用いられますが,四角(■または□)にすることもあります.1辺の長さが1cmの正方形を用いれば,長方形・正方形の面積を求めることもできます.本エントリでは「●」を採用します.

以下がアレイ図の例です.小学校学習指導要領解説算数編(《算数解説》)p.81にも記載があります.

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長方形のように配列」していますが,次の形は,アレイ図とは呼ばれません.

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次の形は,「縦に3つ,横に4つ並べた形」と言えますが,これまたアレイ図にはなっていません.

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名称ですが,「アレー図」「ドット図」とも呼ばれます.『整数の計算 (リーディングス 新しい算数研究)』には,「長方形配列」「長方形配列」と書かれている,昭和50年代の論説が入っています.

「アレイ(array)」を日本語に訳すと,「配列」です.プログラミングでよく用いる,重要なデータ構造です.ただしプログラミング配列は,基本的に1次元であり,配列配列なら「2次元配列」「多次元配列」などと呼びます.そちらを基準とするなら,算数のアレイ図は,2次元の配列のみを考えます.

なので,アレイ図で数を勘定する対象となる一つ一つが「アレイ」なのではありません.それは「ドット」「対象物」などと呼ばれるようです.

シールやおはじきなどを使って,子どもたちが作ったり手にとったり,動かしたりすることもできます.シールを使ったアレイ図は,教具のところでまた書くことにします.

2. 最古のアレイ図?

「世界最古のアレイ図」「日本最古のアレイ図」というのは,探してみると面白そうです.

最古という保証はできませんが,アレイ図を紹介している文献があります.

その最初のページで,「6×9を次のような配列(の点の個数)を意味するとして定義するのがアレイの考えである.」と書き,手書きと思われる図を添えています.

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なぜこの図で「6×9」となるのかは,参考文献5)で,直積の定義を述べたあと,「A={a,b,c},B={x,y}のとき,A×Bは次の図で格子点で表わされるものの集合にあたる.」とあります.そこに載っている図も,次のとおり,手書きであるように見えます.

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このように説明が入っているのは,アレイ図とその数え方が,当時すなわち昭和40年代前半,日本の算数教育に普及していなかったことを示唆します.

かけ算を学習しようとする子どもたちに対して,集合の直積を示す必要はないとしても,ここで集合の概念が顔を出すのは,数学教育の現代化運動(現代化)と密接な関係があります.

現代化については,『確かな算数・数学教育をもとめて (杉山吉茂算数・数学教育論選集)』pp.256-273で「終わった」段階での概括(1994年に書かれた論文)を読むことができます.当雑記でも,今月4日に,ほんの少しだけ言及しています.直積(デカルト積)に基づく国内外の乗法の例は,デカルト積のピクトリアルをご覧ください.

3. アレイ図とかけ算の式

(a) 1種類

この図に戻ります.

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この図を表すかけ算の式は,3×4とするのが一般的です.面白いことに,被乗数先書先唱の日本でも,乗数先書先唱の国でも,同じ式です.*1

日本ではこの図を次のように分けて,一つ分の大きさを3とし,それが4つあるので,3×4=3+3+3+3=12と考えます.

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http://highered.mcgraw-hill.com/sites/dl/free/0072532947/78545/bensec3_3.pdf*2に書かれている考え方だと,次のように切り分けて,3×4=4+4+4=12とします.

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アレイ図の縦方向の個数を先,横方向の個数を後に書く慣習は,長方形の面積の公式を縦×横で表すことや,高校・大学に飛びますが行列のサイズや成分を示すときの素地となります.

(b) 2種類

アレイ図は,また長方形的なものは,必ず縦×横なのかというと,そうではありませんね.今このページをご覧いただいている,パソコンまたは何らかの機器の,画面サイズはいかがでしょうか? 私のだと,1680x1050です.幅が1680ドット,高さが1050ドットです.そして幅は横方向を,高さは縦方向を表します.

算数の取り扱いを考えると,横×縦も,長方形の面積とするほうが,都合がよさそうです*3.アレイ図におけるドットの勘定,またアレイ図とかけ算の式の対応付けについても,同様にします.結局のところ,

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があるときに,●の総数を求めるかけ算の式は,3×4=12でも,4×3=12でもよいという次第です.

ただし,日本の算数において,なぜ「4×3」がこのアレイ図を表す式になるのかは,

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と切り分けられるからです.こうすると,一つ分の大きさが4になり,それが3つ分あると認識でき,4×3=4+4+4=12となるわけです.

一つのアレイ図に対し,2種類のグルーピングができるのは,『算数授業研究 79』p.23にある次の図からも,知ることができます.

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(c) 多数

かけ算は「一つ分の大きさ×いくつ分」で表される,あるいは,累加の簡潔な表現である,という前提に基づくと,

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というアレイ図で,もっと別の「一つ分の大きさ」があるのではないかと,考えることができます.具体的には次のとおり.

  • 一つ分の大きさを2個とし,それが6つある状態,式だと2×6=2+2+2+2+2+2=12
  • 一つ分の大きさを6個とし,それが2つある状態,式だと6×2=6+6=12
  • 一つ分の大きさを1個とし,それが12ある状態,式だと1×12=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=12
  • 一つ分の大きさを12個とし,それが1つある状態,式だと12×1=12

「a×b」で表せる式が他にないのは,12の約数が1, 2, 3, 4, 6, 12だからです.負の数や小数・分数は,アレイ図で表現できない*4ので,対象外とさせてください.

2×6は,12人が仲良く(ニコニコで)並んでいる状態,すなわち

AABB
CCDD
EEFF

と解釈できます.他も同様に,「一つ分の大きさ」と「いくつ分」を視覚化できます.

新版 小学校算数 板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 2年下』のかけ算の最初の授業(p.21)では,「3こずつ4つ分」や「2こずつ6つ分」も複数の取り方ができることを示しています.

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(d) 1-2-M

この項目の見出しは,Fascination MAXXという曲が元ネタになっています.Mはmanyです.

それはさておき,「練り上げ」を試みます.「いろいろ出たけど,じゃあどうする?」といったところです.

まず,1×12や12×1を,式としては認める--積は12になる---としても,図と結びつけるのには無理があるように感じます.

それを言い出すと,あの図から2×6や6×2を連想させよというのがナンセンスという主張だってできます.国語的には,より正確にはコミュニケーションとして考えるなら,次の例と結びつけられそうです.辞書で「犬」の意味を調べたあと,先生または親が「これは何?」と犬の絵を見せたとき,子どもが「食肉目イヌ科の哺乳類。嗅覚・聴覚が鋭く…」*5と答えられるよう,育てたいわけではないということです.

比較に使えるのは,《算数解説》p.81でしょう.次の図により,「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動を例示しています.

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「じゃあどうする」に対するよい結論,言い換えると一本化は,難しいようにも思います.アレイ図が与えられたとき*6,どんなかけ算の式と結びつけられるかについては,状況によって異なります.いろいろ目にしてきた限り,日本の小学校では,「1種類(縦×横)」「2種類(縦×横,横×縦)*7」「多数」が,その状況に合わせて採用,使用されています.

海外では,Webでざっと見た印象として「1種類(縦×横)」が多く,ついで「1種類(横×縦)」で,2種類以上というのは見かけませんでした.

以降では,アレイ図に対応する乗法の式として「縦×横」のみを使用することとします.

4. 乗法の性質

被乗数および乗数が正の整数のとき,交換法則・結合法則・分配法則などが成立することを,任意の正整数に対する証明のかわりに,特定の値について図から確認していきます.

(a) 交換法則

次の図は3×2=6です.サイコロの6の目みたいですね.

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次のようにすると,2×3=6となります.

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「次のようにする」方法には,いくつかあります.

  • 2個を移動させる*8
  • 90度回転移動させる.
  • 転置(transpose)させる*9
  • 図形はそのままで,見る側が90度回転する.

式についてですが,等号は同値関係なので,3×2=2×3を得ます.

(b) 結合法則

次の図は,「3×2」のアレイを「一つ分」とし,それが4つあるので,(3×2)×4=6×4=24となります.

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間の空白を詰めると,一つのアレイ図になります.3×8=24です.

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2つの図を見比べると,8を「2が4つ」と考えることができます.これにより,3×8=3×(2×4)を得ます.

ここでまた,等号が同値関係であることを使うと,(3×2)×4=3×(2×4)が言えます.違う順序でかけても,答えは同じになるという次第です.

(c) 分配法則の入口

分配法則の前に,「乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増える」(《算数解説》p.87)という性質を押さえておきます.図にするなら

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で,上のアレイ図は3×5=15,下は「アレイ図と,線」と考えることで,3×4+3=12+3=15となります.ゆえに3×5=3×4+3です.

ちなみに,「乗数が1減れば積は被乗数分だけ減る」と考え,縦方向の3個の●を順々に取り除いていくと,3×1=3,3×0=0を得ます.これらは,乗法は累加であるという立場では,導くのが難しい式です*10

(d) 分配法則

図としては

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になります.上の図は3×5=15です.下の図は,今回は2つのアレイ図と考えることができ,3×3+3×2=9+6=15です.これにより,3×5=3×(3+2)=3×3+3×2を導くことができます.

被乗数を分けるタイプ,被乗数と乗数の両方を分けるタイプの分配法則もありますが,省略します.

5. 応用

冒頭で「アレイ図ではない」とした図を再掲します.

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「●は全部でいくつあるでしょう」という問いに対して,かけ算を使った式がいくつかできます.

思いつく式を書いておきます.アレイ図のほか,「一つ分の大きさ×いくつ分」を使用しているものもあります.

  • 4×3−2=12−2=10
  • 4×3−2×1=12−2=10
  • 3×3+1=9+1=10
  • 3×2+2×2=6+4=10
  • 4×2+1+1=8+1+1=10

これの類題が,『新版 小学校算数 板書で見る全単元・全時間の授業のすべて 2年下』pp.58-59に見られます.

別の応用として,アレイ図なのですが,その対象物は10円玉,100円玉などの硬貨(紙幣でもかまいません)で,その総額を求めるという問題を作ることができます.

●を10円玉1枚として,

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だったら,いくらでしょうか.30円×40円=1200円としてみれば,大金持ちになった気分です.現実は,例えば10×3×4=120でして,120円です.

去年10月に書いているほか,1万円札を使ったかけ算の構造の話は今月にも記しています.

また別の配置から,総数を求める問題は,ここここここで検討しています.

6. 限界

アレイ図は,乗法の構造を理解しやすくするツールでありますが,頼りすぎるのも,問題があります.

まず,アレイ図は,被乗数・乗数とも,正の整数を対象とします.例えば0×3や4×0を(この2つを区別するような)アレイ図で表すのは,困難です.整数から小数・分数への拡張は,「●」による離散量から,単位正方形に代表される連続量に置き換えれば,可能ですが,負の数,複素数,四元数*11と拡張しても,大丈夫でしょうか.

別の視点での課題が,これまで書いてきた中から見ることができます.

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という図のところです.等式は3×5=3×4+3です.左辺は一つの長方形,右辺は一つの長方形と一つの線分の和,であるように見えます.

そこの何が問題なのかというと,「a×1を表すアレイ図」が,「a個を縦方向に並べたもの」と区別できない点です.なので,子どもたちに,1次元の量と2次元の量の区別がきちんとつくのかなという疑問が生じます.

なお,長方形の周りの長さを求める式を選ばせ,面積ではないことを確認する出題が,平成19年度の全国学力テストに見られます.

あと一つ,結合法則の等式(3×2)×4=3×(2×4)について,左辺の右の「×」の演算と,右辺の右の「×」の演算は,アレイ図の乗法(積の乗法)ではなく,「一つ分の大きさ×いくつ分」,あるいは倍概念(倍の乗法)を根拠としています.

もし,すべてアレイ図の関係式を使って説明を試みるなら,●の移動を行うことになり,そこにもまた2次元配列から1次元配列への変換がなされます*12

ここから,アレイ図のみで乗法の諸性質を示せるのかという疑問に至ります.もちろん数学的な話だけでなく,授業で説明して児童らと共有でき,その考え方が以後の学習によい影響を与えるのかまで,すなわち算数・数学教育の意義を含みます.

7. 教具

アレイ図に似た教具を探し,比較しながら,アレイ図利用の意義を探っていくとしましょう.

まず思い浮かぶのは,九九の表です.罫線をなくし,縦方向をきちんとそろえて出力するのは,プログラミング課題として効果的ですね.

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ですが,これをアレイ図と同一視するわけにはいきません.表示範囲を「3×4」に限定させてみると分かるのですが,マスの数がなぜ12なのかが,明瞭ではありません.

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「1, 2, 3, 4, 2, 4, 6, 8, 3, 6, 9, 12と数えさせるのか?」「数字が間違っていたらどうするの?」といった疑問が思い浮かびます.

数や図形の感覚*13を豊かにするには,情報(数字など)をすべて見せるのではなく,ない状態から発見させること,2つあるいはたくさんある中で違いを識別できるようになることが,重要であるように思えます.そうすると,九九の表(早見表)と,アレイ図には,別の役割を持たせて使うのが妥当なのでしょう.

アレイ図と似ており,手を動かして学習できる教具に,「かけ算マシーン」*14があります.数学教育協議会の活動・著書でよく見られる「かけわり図」に基づきます.出来上がりは次のとおりで(『かけ算とわり算 (子どもを賢くする―よくわかる算数の授業)』p.50),

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作り方も同書のpp.54-56に載っています.筒状ではなく平面を使った同種のものは,http://sanssouci.sakura.ne.jp/pdf/kakezan.pdfhttp://sanssouci.sakura.ne.jp/kyougu/kakezanki_man.pdfにあります.

新しい発展学習の展開算数科 (小学校1~2年) (教育技術MOOK)』pp.88-95には,「実物大九九カード」の作成や活用について書かれています.九九といっても,数字は一切出てきません.これは,1枚のカードに,丸形のシールを貼り付けて作る,アレイ図です.同じ列は同じ色のシールとすることで,見た目がきれいで,しかも,「一つ分の大きさ」が分かりやすい教具となっています.

8. なぜアレイ図

「かけ算の順序」を前面に押し出して批判しているWebページのうち,

あたりを読み,アレイ図の認識のされ方,使われ方について,自分なりに調査しようと思い,雑報形式にしました.

一つ,途中でうまく埋め込むことができなかった話を,ここに書いておきます.「アレイ」「アレイ図」という言葉は,現代化失敗のあおりを受けて,算数教育の場から“公式には”姿を消したのかな,という妄想*15を抱いています.

言い換えると,「アレイ図」は「1あたり量」と同様の,教育現場の用語であるように感じるのです.

とはいえ,その2つの用語・概念を使っている人々は異なります.完全に棲み分けられているというわけではないにせよ,アレイ図とかけわり図の類似性によって,そして違いがあるからこそ,どの先生・学年・学校でどちらの「乗法の意味理解の支援ツール」を採用しているかというのが分かれている,といったところでしょうか.


追加情報も,ご覧いただけると幸いです.

(最終更新日時:Mon Aug 13 06:12:06 2012ごろ)

*1:「先書」と「先唱」の違いは,2月9日(00. はてブ)で書きましたのでご覧ください.

*2:"Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual Approach"で,Sixth Editionとのこと.最新版はasin:007351957Xで,Ninth Editionです.少し探したものの,これの無料プレビュ版は見当たりませんでした.

*3:ひとつ例を挙げると,平行四辺形の面積,すなわち底辺×高さを導くときに,被乗数を長方形の横の長さに対応づけておけばスムーズにいきます.なお,長方形において縦と横は同時に発見できるのに対して,平行四辺形の場合は底辺を選択することでその高さが決まるという違いがあるのには,注意したいところです.

*4:上に書いた中島の論文にも,言及があります.

*5犬/狗(いぬ)の意味 - goo国語辞書

*6:野暮な解説ですが,ここは「子どもにアレイ図を与える」という意図ではなく,「アレイ図の中で何か一つをとってきたときに(以降はそのアレイ図で議論しますよ)」といった意味です.もし英訳するなら,Givenから始まります.

*7:先日も取り上げましたが,http://www.kasanken.com/03shidouan/2nen/2-20071006-kakezan.pdfに「アレイ図カルタ」というのがあります.

*8:a×b(ただしa>b)のアレイ図からb×aのアレイ図を得るには,(a-b)×bの“部分アレイ”を移動させればできます.

*9http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20110730/1311970811

*10:《算数解説》p.107でも,0×3=0となる理由には累加を入れていますが,3×0=0のほうは累加でも乗法の交換法則でもなく,ここに書いたのと同様のプロセスが書かれています.

*11:関連:宮下英明: 数と量の関係は,〈量の比〉であって〈数は量の抽象〉ではない, 日本数学教育学会誌(算数教育), Vol.93, No.8, pp.2-11 (2011).

*12:あるいは「3次元配列」を用いて,体積に相当する総数を求めるという方法も考えられます.

*13:回転を通じて交換法則の根拠に目が行きがちですが,2×3と4×6のアレイ図など,拡大・縮小・相似を学ぶこともできます.関連:『田中博史の算数授業のつくり方 (プレミアム講座ライブ)』pp.56-57

*14:現在,この言葉で検索すると,雑誌の付録についたという別のものが上位に出てきます.

*15:またも野暮な解説ですが,当雑記で使用する「妄想」には,特定の意味があります.「妄想」カテゴリーのエントリをご覧ください.

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