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2012年02月15日

[] 割り算のときにどちらを除数にしてもよいのはどうしてか

コメントしようと,下書きしていたら,長くなってしまったので,トラバ送ります.

コメント文案

「かけ算の順序」で情報収集をしている者です.「リンゴ」「(時速)X(時間)」「割り算」について,こちらの知っていることをお伝えしたいと思います.

リンゴを配れば2 X 3でも3 X 2でもできるというのは,その本にも書かれていますが,「アレイ」の考え方が背景にあります.

小学校での教え方としては,リンゴを配る文章題では,「1あたり量」と「いくつ分」が認識できるよう,提示します(「いくつ分」が先に現れるパターンや,その種の問題を解かせる意義も,共有されています).アレイ図をかくとき,その2つの数量が明確になるよう,囲い込みをします.

そして学校教育から離れますが,そういった文章題に,囲い込みのなされないアレイ図が連想できるというのが,「かけ算には順序はない」という主張の根拠の一つとなっています.

(時速)X(時間)の話は,「複比例」として考えることができます.

「道のりは,時速を固定すれば,時間に比例する」「道のりは,時間を固定すれば,時速に比例する」となります.後者を「道のり=比例定数 X 時速」で表し,これに単位を合わせてみると,kmkm/(km/h) X km/hとできる,という次第です.

複比例を通じた乗法の意味理解は,1968年に書かれた(同一著者による2つの)論説で,提案されています.しかしそれを引き継いで,より深く研究,実践したという話は聞きません.6年生に比例を教えるのでも大変なのに,複比例なんてとても,という意識なのかなと想像します.

最後の「割り算のときにどちらを除数にしてもよいのはどうしてか」ですが,「どんな場面で割り算の式に表せるか」が2種類に大別できます.このとき,大人や教師の認識もさることながら,子どもが「これはわり算だ!」と判断できるようになることを,重視します.

それらは伝統的に,「包含除・等分除」「第1用法・第3用法」と呼ばれています.子ども向けには,等分除を「ニコニコわり算」,包含除を「ドキドキわり算」と呼ぶこともあります.

その2種類は,除法を乗法の逆算とみたときに,「乗数を求める場合の除法」「被乗数を求める場合の除法」となります.このとき,被乗数と乗数は区別されていることが,前提となっています.

なので,「かける順序はどちらでもいい」という主張と,「わり算はなぜ2種類?」という疑問は,「被乗数と乗数に区別はない」という考え方を挟んで,表裏一体の関係にあると言えます.

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