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2013年02月04日

[][] □×△と△×□,答えは同じだけど,意味は違う(2013年版)

1. 「答えは同じ,意味が違う」とは

  • s1:“さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。”
  • s2:“1さらに りんごが 3こずつ のって います。そんな さらが 5まい あります。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。”
  • s3:“5枚の皿に3個ずつ乗った林檎の総数”

そして

  • s4:“さらが 3まい あります。1さらに りんごが 5こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。”
  • s5:“1さらに りんごが 5こずつ のって います。そんな さらが 3まい あります。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。”
  • s6:“3枚の皿に5個ずつ乗った林檎の総数”

と,6つの場面を設定します.

「かけられる数」と「かける数」の意味を大事にする,小学校2年生の段階では,s1, s2, s3はいずれも「3×5=15」により,「15こ」という答えを得ます.なぜなら,いずれも「一つ分の大きさ(1つぶんの数,1あたりの数)」にあたるのは「3」のほうで,「いくつ分」にあたるのは「5」だからです.

s4, s5, s6については「5×3=15」です.答えは「15こ」です.

批判する人々は,s1からs6までのいずれについても,それを求めるためのかけ算の式は,「3×5=15」「5×3=15」のどちらでもよいことを主張しています(直接,そのように主張していなくても,そのように推論できます).

1+. 「かけられる数」と「かける数」の意味を大事にする,とは?

  • 布川和彦: かけ算の導入―数の多面的な見方、定義、英語との相違―, 日本数学教育学会誌, No.92, Vol.11, pp.50-51 (2010). http://ci.nii.ac.jp/naid/110007994852
  • Nunokawa, K.: Multiplication: introduction, 日本数学教育学会誌, No.92, Vol.11, pp.122-123 (2010).

2年生の導入時では,被乗数と乗数を明確に区別して扱っているが,これもかけ算の意味の理解を確かにするためと考えられる.図1のみかん全部の個数を4×6=24と表すときに,被乗数4が一つ分の大きさ,乗数6が幾つ分を表していることを大切に扱う必要がある.ただしこの意味は世界共通でなく,例えば英語ではこれを6×4=24とするので,被乗数,乗数の意味は逆になる.なお昭和44年の「小学校指導書算数編」では,基準にする大きさのいくつ文かにあたる大きさを「表わす」ことに触れているが,表現という側面からは被乗数と乗数の意味が特に重要となる.またかけ算の学習は,例えば2の段では被乗数が2の場合に乗数を1から9まで系統的に変化させ(図2),8×2などはここで扱わないが,これもかけ算の意味を大切にしていることの一つの現れであろう.

Students are required to clearly distinguish between multiplicands and multipliers at this stage because this distinction helps them understand the meaning of multiplication. Teachers pay attention to whether their students understand that multiplicands express sizes of units and multipliers express numbers of groups. These meanings are reversed from the viewpoint of some educators elsewhere in the world. The amount of oranges in Figure 1 is expressed as 4×6=24 in Japan. The expression 6×4 is not usually allowed at the introductory stage. Learning starts with multiplications in the form of 2×□ and 5×□. While the multiplier varies from 1 to 9 (Figure 2), 2×□ and □×2 are not learned at the same time.

掲載誌,ページ数,そしてその内容から,上記は著者の個人的な意見ではなく,これまで算数でなされてきた「かけ算の導入」を整理・集約し,算数教育に関心を持つ国内外の研究者や教師らに向けて書いた解説であると理解しています.

2. 図にする

小学校の指導,そして2年生の理解は,次の図で表すことができます.

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批判する人々は,次のようになると思われます.

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これらの図に対して,右2列分を取り出しますと,少し事情が違ってきます.

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こうなると,小学校のかけ算の学習でも,うかがい知ることのできる図式となっています.後者を言葉で表すと,「3行5列の長方形配列について,●の総数を求める式には,3×5と5×3の2つがある」です.

3. 子どもは?

いくつかの本から,子どもが「□×△と△×□の違い」を認識していることを,知ることができます.

「ベンチが5こあります。そこに6人ずつすわっています。ベンチにすわっている人は何人でしょう」

問題をつくったA男は,数字の順序で5×6としてしまった。*1

そこで「絵」を描かせると,「ああそうか」とA男は6×5の式が立てられた。

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(『算数の教え方には法則がある』p.71)

今日の算数の時間に,21×3の計算の仕方を考えました。それで最初に,21×3でとける問題をつくってみました。ぼくはつくってもう1回読んだら,3×21になってしまっていたので,すぐ書き直しました。

(『「板書見ながら」算数作文―話すだけの授業からの脱却』p.6)

ブラジルに行ったときに6の目のサイコロを見せて,「サイコロの目の数はいくつですか」と言うと,みんな「6」と言った。「どうして6と考えたの」と尋ねるとある子が出てきて,「3×2」と書いたんです。これを3×2と見たわけを聞きました。私がどうしてそんなことを聞いたかというと,式の後ろに潜んでいる感覚は,日本語圏以外では普通意味が逆です。3×2と言えば,日本では「3個のかたまりが2個ある」という意味ですが,英語圏中国語圏もみんな「3個ありますよ,2つのものが」という意味です。

(略)だから,3×2とブラジルの子が書いたから,あえてちゃんと聞いてみたいと思ったんですね。そうしたら,はじめに出てきて説明した子は3個ずつのかたまりを作ってそれが2つ分と言いました。おやっ,これは日本と同じだぞと思っていると,他の仲間みんなが違う違うと言うのです。要するに間違っていたのです。どこの国も同じですね,間違える子がいるのは。本当は2個のかたまりが3個分だと別の子が説明してくれました。*2

(『坪田耕三の算数授業のつくり方 (プレミアム講座ライブ)』p.138)

③式を見て絵題づくり

「3×2になる問題を絵で書いてごらん」といってやらせてみると,子どもたちは喜んで絵をかきます。

子どもがつくった3×2の絵題〕

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ところが,2×3の絵題になっている子がいます.

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そこで,Mくんにたずねてみました.

T「○○パンの車の絵ね」

M「そう」

T「うまいねえ.きみ,このトラックの問題は何×何の問題?」

M「3×2」

T「そうか……じゃあ,このトラックの絵の横に,3×2のタイル図をかいてごらん」

M(わらばん紙の余白にフリーハンドで右の図をすらすらかく.)

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T「よし,じゃあ……かけ算のことばでいうと,①は? きみのはトラックだから」

M「1だいに3人」

T「f:id:takehikom:20130201002408p:image*3は?」

M「2だい.あれ?」(自分の絵は1台に2人になっています.)

M「……」

だまって自分の机についたMくんは,こんどはつぎの絵をかいて持ってきました.

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こんどは3×2の問題になっています.このように,かけ算の図のかき方がわかり,すいすい作図ができるようになっている子でも,かけ算の意味や,1あたり量の意味がしっかり身についていないことがあります.

(『さんすうの授業 第1階梯―自主編成研究講座 小学校1・2・3年生』pp.174-175)

これらの本から,次のことが言えます.先生の,言ってみれば上からの指導だけでなく,子ども自身の見直しや内省,また子どもたちどうしの会話を通じて,「□×△と△×□の違い」を子どもが確認しているのです.

このような確認のプロセスが,「かけ算の意味の理解」の事例として,教師向けの本に書かれている点も,指摘しておきましょう.4冊の本が,向山型算数,筑波の算数,数教協&日教組と,まったく異なる母体からであるのも,無視するわけにはいきません.

先生の指導は,子どもが被乗数・乗数が反対の式を書いた → その式の意味(式に対応づけられる図や状態など)を確かめさせる → 子どもが反対だと気づいて式を修正する,という流れになります.これは一種のメンタリングです.実際,メンタリングの主要な要素と言うべき,「対話」,「助言」,そして「気づかせる」を,上記引用から確認することができます.

この「気づき」は,2年のかけ算の中だけでなく,わり算や九九の範囲を超えたかけ算を学習する3年になっても,行われているように思います.レディネステストでも,クラスで,かけ算の意味が定着しているかを確認するため,問われます.“さらが 5まい あります。1さらに りんごが 3こずつ のって います。りんごは ぜんぶで 何こ あるでしょう。”という出題に5×3=15という式を書いて,バツをもらった子は,添えられた「3×5=15」という式と,それまでに授業で学んだことから,あ,そうだったと思い出のです.

4. 海外は?

英語の文献からも,「□×△と△×□,答えは同じだけど,意味は違う」を確認することができます.

一つは,次の文献です.

  • Anghileri, J. and Johnson, D.C. (1988). Arithmetic Operations on Whole Numbers: Multiplication and Division. In Post, T.R. (Ed.): Teaching Mathematics in Grades K-8, Longman Higher Education, Allyn and Bacon, pp.146-189. asin:0205110762

交換すると意味が変わり得ることを記した箇所を取り出し,私訳を添えます.

For children, three lots of four and four lots of three are fundamentally different. They think in concrete terms---three children each having four candies are luckier than four children each having three candies although the total number of candies is the same.

子どもたちにとって,「4が3つ」と「3が4つ」は基本的に別物である.具体物で考えると---4つずつキャンディを持っている3人の子どもは,3つずつキャンディを持っている4人の子どもよりも,運がいい.キャンディの総数は同じなのだけれども.)

The balance or symmetry in the multiplication square relates to a very important property called the commutative property of multiplication, which states that for any two numbers a and b, a×b=b×a (for example, 3×4=4×3). Note that this is a property of numbers. While it is true that 3×4 is equal to 4×3, 3×4 may not be the same as 4×3 in a real-life situation.

(かけ算の表*4の釣り合いや対称性は,乗法の交換法則と呼ばれる重要な性質に関連している.すなわち,任意の2つの数aおよびbに対して,a×b=b×aである.例えば3×4=4×3となる.注意しないといけないのは,これは数の性質ということである.3×4が4×3と等しいのは事実だが,日常生活においてそれらが同じであるというわけではない.)

Give some real-life examples of situations in which a multiplication product a×b (for example, 5×6) is not the same as b×a (6×5).

(a×bとb×a(例えば,5×6と6×5)が同じでないような,日常生活の例を挙げなさい.)

もう一つは,次の文献です.

  • Greer, B. (1992). Multiplication and Division as Models of Situations. In Grouws D.A. (Ed.): Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, National Council of Teachers of Mathematics, pp.276-295. isbn:1593115989

ここでは,小数のかけ算について,日本式に書けば「0.85×16」と「16×0.85」の認識(演算決定,ここでは四則演算のうちかけ算で求めればよいと認識すること)の違いを指摘しています.

For example, consider the following contrasting pair:

A rocket travels at a speed of 16 miles per second. How far does it travel in 0.85 seconds?

A rocket travels at a speed of 0.85 miles per second. How far does it travel in 16 seconds?

From a purely computational point of view both problems involve the multiplication of 16 and 0.85, but the former is more difficult to envisage as requiring multiplication for solution; many children, indeed, judge that the answer would be given by 16÷0.85 (Greer, 1988).

Results from several experiments using problems from a variety of situation classes consistently show the multiplier effect (De Corte, Verschaffel, & Van Coillie, 1998, p. 203), namely that the difficulty of recognizing multiplication as the appropriate operation for the solution of a problem depends on whether the multiplier is an integer, a decimal greater than 1, or a decimal less than 1 (Bell et al., 1984; De Corte et al., 1988; Fischbein et al., 1985; Luke, 1988; Mangan, 1986). The size of the effect, in terms of the difference in percentage of correct choices, is of the order of 10-15% for the difference between integer and decimal greater than 1 as multiplier. For the difference between integer and decimal less than 1, the size of the effect is of the order of 40%-50%. When the multiplier is less than 1, there is the added difficulty that the result is smaller than the multiplicand, which is incompatible with the repeated addition model. By contrast, the findings from these experiments show that it makes no appreciable difference what type of number appears as the multiplicand. Thus, these results for the interpretation of word problems modeled by multiplication show a clear pattern that is consistent with the theory advanced by Fischbein et al.

(例えば,次の対照的なペアを考えよう:

あるロケットは1秒間に16マイルのスピードで進む.0.85秒ではどれだけ進むか?

あるロケットは1秒間に0.85マイルのスピードで進む.16秒ではどれだけ進むか?

純粋に,計算の観点では,どちらの問題も,16と0.85をかければ答えとなる.しかし前者のほうが,答えとして乗法を使用すると考えるのが難しい.実際,多くの子どもたちが,16÷0.85を解答として選択している*5

様々な分類の(乗法の)場面に基づいた出題で,実験がなされ,いずれも乗数効果,すなわち,ある問題を解く際に適切な演算として乗法を認識・選択することの困難さが,乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のうちどれであるかに依ること,を示している.効果の大きさを,正答率の差で表すことにすると,乗数が「整数」と「1より大きい小数」の間では10-15%である.乗数が「整数」と「1より小さい小数」の間では,効果の大きさは40-50%になる.乗数が「1より小さい小数」のとき,積が被乗数よりも小さくなる(累加モデルには見られない)ため,難しさがアップしている.その一方で,これらの実験の知見として,被乗数が「整数」「1より大きい小数」「1より小さい小数」のいずれであるかは,感知できるほどの違いを見せていない.乗法の文章題の解釈に関する,この結果は,Fischbeinらが提案した理論に合致し,明確なパターンを示している.)

5. Q&A

Q: 3×5と5×3って,意味が違うの? 計算したら,15になるんじゃないの!?

A: ええ,多くの事例を見る限り,意味は違います.「5×3」という式を見たときに,先生や(かけ算をきちんと学習した)子どもたちがどう認識するかというのは,「3×5」とは異なるのです.

計算したら15になるのは,「3×5と5×3は,答えは同じ」という言い方になります.学習指導要領解説では,「乗数と被乗数を交換しても積は同じになる」とあります.

「乗数と被乗数を交換しても同じになる」もしくは「乗数と被乗数を交換しても意味は同じになる」としている出版物があれば,ご紹介ください.

Q: 交換法則から,「3×5=15」は「5×3=15」と書けませんか?

A: 書ける・書けないで言うと,その2つの等式,さらに「3×5=5×3」は,小学校でも認められています.しかしそこでいう交換法則は,3×5や5×3といった式を前提として,利用のできる関係式です.

論争の対象となっている文章題は,かけ算の式がない状態から,式を立てることが期待されているので,適用できません.

Q: トランプ配りを使えば,「一つ分の大きさ」を5,「いくつ分」を3とすることができますけど?

A: 残念ながら,トランプ配りの乗法への適用は,学校では認められていないようです.「配る」のではなく,配られた後の状態をもとに,「一つ分の大きさ」と「いくつ分」を見つけています

Q: アレイ図を使えば,どちらでもいいのでは?

A: 日本の算数では,アレイ図は主に交換法則や分配法則の確認のために使用されており,文章題を解くための道具として使用されていません.

アレイや直積に基づいた,乗法の意味づけには,日本・フランス・中国で課題が指摘されています.日本で指摘したのは,書名から分かるように,遠山啓です.

いままでの

    「タイル×タイル」

というのは,子どもにはなかなかわからない。

    「外延量×外延量」

という計算は,面積などにたしかにあるわけです。しかし,それは一般性をもっていなくて,非常に特殊な物です。それでやはり,

    総量=内包量×容量

という考えに変えたわけです。

(『遠山啓エッセンス〈3〉量の理論』pp.154-155)

The Cartesian product is so nice that it has very often been used (in France anyway) to introduce multiplication in the second and third grades of elementary school. But many children fail to understand multiplication when it is introduced this way. The arithmetical structure of the Cartesian product, as a product of measures, is indeed very difficult and cannot really be mastered until it is analyzed as a double proportion. Simple proportions should come first.

デカルト積は,(積の考え方として)非常にいいので,フランスではとにかく,小学校の第2〜3学年でかけ算を導入する際に非常によく使われてきた.しかしこの方法で導入すると,多くの児童が,かけ算の理解に失敗している.量の積として,デカルト積による算術的(乗法的)な構造というのは実のところ非常に難しく,複比例として理解できるようになるまでは,その修得は困難である.単純な比例(割合)の問題を最初にもってくるべきである.)

Vergnaud (1983) p.135)

乗法の学習は第2学年上半期に九九に伴って始まる。1つ前の教育課程から, 「一部分の学習者が被乗数と乗数の区別に難儀を感じる」,「中学校に入ったら被乗数も乗数も因数として扱う」などの理由で,被乗数と乗数の区別をなくし,最初から因数として扱うこととした(略)。これについて現場の授業等を観察したことがある。この処理は数計算の場合大きな差支えがないかもしれないが,量の扱いではやはり不具合があって,教師たちの丁寧な対応によって乗り越えているところである。

理数教科書に関する国際比較調査結果報告 p.181)

Q: やっぱり,3×5と5×3の意味が違うのは,納得できない!

A: こうお考えください.

優れた“目”(コンピュータビジョン)と“頭”(人工知能)を持った機械がありまして,「3×5」をインプットしておくと,それ以降,3×5で表されるものを見つけたら,「3×5です!」と言います.

もう一つ,同じ仕様の機械があるのですが,こちらには「5×3」がインプットされており,5×3で表されるものを見つけたら,「5×3です!」と言います.

この2体がそろって,教科書あるいは問題集を順に見ていくと,「3×5です!」と言うとき,「5×3です!」と言うときのほか,「3×5です!」「5×3です!」の両方が発せられるとき(例えば3行5列の囲い込みなしアレイ)も起こり得ます.なお,「かける順序はどちらでもいい」という方針に基づく機械だと,「3×5です!」「5×3です!」の両方になるばかりで,一方だけが言う状況というのは,ないようにも思います.

この話から何が言いたいかというと,3×5と5×3の意味が違うといっても,「3×5であるならば,5×3ではない」ということまでは主張していないのです.また,次のように言うこともできるでしょう.「3行5列の囲い込みなしアレイ」と同種の場面をいくら持ってきても,3×5と5×3の意味が同じか違うかの論証には寄与しません.

以上をもう少しきちんと検討するなら,「3×5という式で表せる場面の集合」などを定義することになります.そういった集合を,うまく定義できたなら,3×5と5×3の意味の違いは,その集合が違う(一方に属し,他方には属さない要素がある)ということであって,それらが互いに素だという主張ではないのです.

Q: 全国学力テストの採点では,乗数と被乗数を逆にしても,バツにしていない.なぜ教育現場では,かけ算の順序にこだわるのか?

A: 簡単にいうとそれは,「2年のかけ算」と「高学年のかけ算」の違いです.

全国学力・学習状況調査は例年,6年生が解答しています.そしてご指摘のとおり,平成22年度以降の小学校算数の解説には,「乗数と被乗数を入れ替えた式なども許容する」という注意書きが入っています.

面積に代表される〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉や,乗法の交換法則をはじめ二つの数量の関係を記号で表す,4〜5年あたりで,「順序にこだわらない」ようになっていると感じています.

その段階では,かけられる数とかける数の区別ではなく,かけ算かわり算かによって,演算の意味の理解を調査することが主となっています.

Q: 正しい式にバツをつけるのはよくないのでは?

A: 「正しい式」の定義次第でしょう.加えて,「その正しさはどの範囲で(どんな人々の間で)認められるのか」,またかけ算だと「かけられる数とかける数を逆にした式と,意味が同じとしていいか,異なるか」も,検討する必要がありそうです.

小学校でかけ算を学習する際に,子どもたちは,提示された(もしくは自分で絵や文章に表した)場面が,3×5という式で表せるか否かを判断できるようになっていきます.3×5と5×3は「答え(積)は同じ」だけれど「意味が違う」というのは,そのような活動の帰結とも言えます.

そのほか,マルやバツをつけたり,そのためどのように指導をしたりテスト問題を作ったりしているのかの現状を理解するには,「教育評価」の知識が不可欠です.『教育評価 (岩波テキストブックス)』がおすすめです.「計算の意味の理解」の調査における一考察もどうぞ.

過去に書いたこと

(リリース:Fri Feb 01 00:28:50 JST 2013ごろ)

(最終更新:2013-02-03 早朝.修正前の内容は,ウェブ魚拓をご覧ください)

*1引用者注:「文章題をつくって解く学習システム」からの1題です.子どもに与える指示は,pp.68-69によると「おはなしの問題をつくってごらんなさい。」「おはなしにあう絵も描いてごらんなさい。」「式と答えも書きなさい。」.なので,ここの引用の文章題・式・絵はいずれもA男がつくったものです.

*2引用者注:前後関係やp.139の図から,「本当は2個のかたまりが3個分だ」のところを「書いた式(3×2)だと,2個のかたまりが3個分になる」と解釈すればよさそうです.

*3引用者注:タイル図における分量の部分です.

*4引用者注:九九の表,と言いたいところですが,引用の前のページにある表は,かけられる数・かける数とも0から10までの範囲をとります.

*5引用者注:選択肢の中から正しい式を選ばせる出題であるのが前提と思われます.