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2013年02月19日

[] トランプ配りと,うまくやっていく

0. トランプ配りの基礎資料

1972年1月26日の『朝日新聞』に小学校のテストをめぐる論争がのった。それによると,昨年の秋,大阪府松原市・松原南小学校の2年生のテストに,つぎのような問題があったという。

「6人のこどもに,1人4こずつみかんをあたえたい.みかんはいくつあればよいでしょうか」

これに対して何人かの子どもは,

6×4=24

と書いたが,その答案は,答えの24こにはマルがつけられ,式の6×4にはバツがつけられ,4×6と訂正されたという。

(p.114)

ミカンを配るのに,トランプを配るときのやり方で配ると,1回分が6こ,これを4回くばるのだから,それを思い浮かべる子どもは,むしろ,

6×4=24

という方式をたてるほうが合理的だといえる。

これが,もし,つぎのような問題だったら,どうだろう.「教室の机は1列に6つずつ4列ならんでいます.机はみんなでいくつありますか」という問題では,4×6でも,6×4でもいいとせざるをえないだろう.

(p.116)

本日は,「トランプ配りの乗法への適用」に焦点を当てて見直します.「トランプ配りの等分除への適用(にこにこわり算など)」については,別の機会とします.

1. みかんの配り方 - 都算研の学力調査より

いきなりですが問題です.

子どもが 3人 います。みかんを 1人に 4こずつ ふくろに 入れて くばります。くばる みかんの 数を もとめる しきを かきましょう。

出典はhttp://tosanken.main.jp/data/H22/jittaityousa.pdf#page=5です.休養期間中に,都算研2011に書いた件です.都算研の正式名称は,東京都算数教育研究会です.

ページ下部では,「評価基準及び割合」が図表になっています.上の問題では,正答(A1)が54%,「4+4+4=12」(A2)が1%,「3×4=12」(C1)が38%,その他(C2)が9%です.

それらのラベリング(とくに英字),およびページ内の記載内容から,「4×3(=12)」と「4+4+4(=12)」を正解扱いとし,C1については間違いと判断してよさそうです.

問題文を見直しますと,「みかんを1人に4個ずつ袋に入れて配ります」と,配り方を指示しているのが,特徴的です.

この指示の意図は,「一つ分の大きさ(1つ分の数,1あたりの数,1あたり量)」を4に限定することなのでしょう.

そして,トランプ配りを防止しているようにも見えます.

もしそれでも,みかんを1人に4個ずつ,3つの袋に入れる際に,トランプ配りのやり方で入れることができると主張するなら…

そういった入れ方は,「みかんの産地」や「みかんの大きさ」などと同様に,問題を解くのには使えない付加情報だ,というだけのことです.

2. どっちの式でもいいのかな - 北数教

休養期間中に,最新は?として書いた件です.北数教の正式名称は,北海道算数数学教育会です.

本の監修者は,筑波大学の先生で,日本の算数教科書がスペイン語へ翻訳でも取り上げました.編著者2名のプロフィールには,共通して「北海道算数数学教育会」が書かれています.奥書の一つ手前,執筆者一覧では,監修者を除く全員の所属が,「北海道教育大学」または「札幌市立」から始まり,「小学校」を含みます*1.といったわけで,北海道の算数指導に携わる先生方の間で,本にする価値のある指導内容が取りまとめられた,と思ってよさそうです.

「どっちの式でもいいのかな」は,pp.52-55の4ページです.p.52は文章による解説,p.53は「アイディアシート」による,授業指導のための構図,そしてpp.54-55の見開きで,板書例や指導上の注意が記されています.

その4ページで,コアとなる出題は:

3まいのおさらにりんごが6こずつのっています。りんごはぜんぶで何こですか。

これを,「「あれ?」を生む問題」としています.当ブログでは《BA型》と書いていたパターンです.「基準量が後に示された問題」(例えば『確かな学力を育てる算数科学習指導略案集 低学年編』)といった表現でも,知られています.

本ですが,「意味が欠落した手続き」では,「(最初に出てきた数)×(後から出てきた数)」として考え,3×6という式を立てる,と持っていきます.

ここで,トランプ配りやアレイの考え方をもとに,3×6という式を立てる子は,出てきません.推測ですが,それまでのたし算やかけ算の学習をしてきていると,それらの考え方は発生しないのでしょう.ネットでよく言われる別解は,大人の後付けの推論なのです.海外事例ですが,長期調査で取り上げた,子どもたちの解き方の分類・分析も,そのことを支えています*2

それでもなお,授業で,トランプ配りやアレイの考え方をもとに,3×6という式を言う子がいたら,どうなるでしょうか.

本では「もし3×6だと…」と進めます.解説には「もし3×6だったらちがうお話になっちゃうよ」(p.52),板書では「もし // 3×6だとしたら // 6まいのおさらに // りんごが3こずつ // のっています。 // になる!」(p.55)とあります.

それらの「もし」は,話の流れとしては,それまで学習した「かけ算の意味」が欠落して,3×6と書いた向けの対応なのですが,トランプ配り対策にも使えるわけです*3

また別の観点でも,この4ページはなかなか周到にまとめられています.というのも,「かけ算の順序」対策もしているのです.

ざっと数えたところ,「順序」が2回,「順番」が10回,出現しています.そして,「順序」「順番」の前には,「お話の」「数の」「数字の」が書かれてあり,「かけ算の」は見当たりませんでした.

「順序にこだわる子どもには」(p.53)と,こだわるのは(ネットでよく言われる)教師や教え方ではなく,子どもの側であるのも,興味深いところです.

3. 北数教の指導集

「北海道算数数学教育会」で,一つ情報を見かけました.

積分定数 2011/12/27 18:51

(略)

それから参考までにこんなのを拾いました。

北海道算数数学教育会小学校部会

http://hokkaido-sannsuu.com/s_sidouan.html

http://hokkaido-sannsuu.com/pdf_sidouan/02/2nenkakezan3.pdf

>自分が計算しやすいように1あたり量を任意に決めてかけ算を使う経験の積み重ねが、乗法による処理の有効性に気づかせ、生活に生かそうとする態度を養うことになる。

>式から形式的に交換法則をとらえるのではなく、「前から見ると…」「横から見るとと…」などと1当たり量を柔軟にとらえる見方こそが大切である。

http://d.hatena.ne.jp/filinion/20111224/1324684685#c

URLの後者のほうは,ジェットコースターだ…別件で知ったのをきっかけに,ジェットコースター問題を書きました.ジェットコースター問題の主眼は「一つの数をほかの数の積としてみること」であり,それに対し,よく論争になっている出題は「乗法が用いられる場合とその意味」を問うものです.

前者にアクセスすると…6学年4領域の表で,学習指導案PDFファイルにリンクされています.

興味を引いたところを,抜き出します.

  • 2年 数と計算
    • かけざん(関口清吾):「C3:お皿が3枚で、ケーキが4こずつで3×4で12です」
    • かけざん1:「6×5? 5×6? どちらの式がいいの?」
    • かけざん(大江則夫):「そのことによって、3×5と5×3との違いを見つけていけると同時に、3×5=5×3という交換法則を導けるだろう」
  • 3年 数量関係
    • しきのみかた(西田成子):「○○さんは、1まい何円かのシールを6まい買ったら代金は48円でした。シールは1枚何円でしょう」
    • しきのみかた(仲倉優):箱のなかに何個かのケーキが入っています。ケーキを8人で分けたら、1人分が3個になりました。何個入っていますか」

「3年 数量関係」では,□を使ったかけ算・わり算の式を取り扱っています.以前に3年のわり算かけ算で読みました.

ともあれ,北数教の指導集を読んだ限り,3年まで,乗法の意味を重視した指導をしていると,見なしてよさそうです.

ジェットコースター問題,論争になっている問題,学習指導案から思い浮かぶ算数の授業…それらを結び付けて言うなら,「一つの問題(場面)に対し,複数の答え・反応が考えられる」という点でしょう.これについては,以下のように書いたのでした.

  • "There should be permitted more than one way of solving a problem." --- Yes, the class typically encourages the pupils to produce various answers based on diverse ways. And one of them (or more) is what they will share, the teacher wishes, in the class and some of them are correct in a mathematical sense but less interesting, and some are the answers or approaches which the children will see as wrong. (snip)
Towards Japanese Multiplication Instruction

4. 1988年のmultiplicative structures

  • Vergnaud, G. (1988). Multiplicative Structures. In Hiebert, J. and Behr, M. (Eds.), Number Concepts and Operations in the Middle Grades, Vol.2, pp.141-161. isbn:0873532651

1983年に,同じ著者が同じタイトルで書いた件の焼き直しだろうと思っていたら,ずいぶんと違っていました.

ともあれ本日は,補強版となっている箇所を取り上げます.

1. Connie wants to buy 4 plastic cars. They cost 5 dollars each. How much does she have to pay?

a) 5+5+5+5=20

b) 4・5=20

c) 5・4=20

d) 4+4+4+4+4=20

(1. コニーは4個のおもちゃの車を買いたい.1個は5ドルする.いくら払わないといけないか?

a) 5+5+5+5=20

b) 5×4=20

c) 4×5=20

d) 4+4+4+4+4=20)

(p.144)

和訳にあたりあえて,b)とc)では「×」を使用し,日本の算数の表記にしています.以降の訳では,「・」は大人の議論として使用します.「a・x」は「a倍のx」と読み,aを乗数(しばしばxの係数)とみなします.

Connieだとかコニーだとかの前に「1. 」があるのは,かけ算に関する文章題と解き方(procedure)が何通りかあるためです.問題は5まで,解き方はn)まであります.2番目の問題の解き方は,「a)」と振り直すのではなく,「e)」となっています.そのようにして,異なる問題でも同じ式になる場合に,そこから共通点・相違点を探ろうという試みをしています*4

もし,かけ算の対称性を重視する,というか「かけ算に順序がない」価値観なら,b)とc)の関連づけを重視し,あとはa)とb),d)とc)の関連性にも考慮を払うかもしれません.しかし著者は,a)とb),c),d)と分けて議論していきます.まずa)は累加です.それをかけ算の式にしたのが,b)となります.

そうすると「5ドルが4つ」あるいは「5ドルの4倍」という関係が見えてきます.これは図になっています(p.145).

f:id:takehikom:20130219053724j:image

次にc)です.著者は,この式は次の図で考えればよいと説きます(p.146).

f:id:takehikom:20130219053725j:image

日本式に言うと,c)の式「4×5=20」における「4」は,おもちゃの車の個数です.「×5」は,「1個5ドル」という,車の数と価格とをかけ算によって結びつける操作(「multiply the number of cars by the price of 1 car」(p.145))を表します.

d)という伏線の回収と合わせ,この件の著者によるまとめは,次のようになっています.なお,isomorphic(同型)とlinear(線形)を,f(x)=axという式によって同等視していることを前提とします*5

The comparative facility of isomorphic over functional properties is even easier to show by considering all four procedures a, b, c, and d. Procedure b is a meaningful concatenation of procedure a. The cost of 4 cars = the cost of 1 car, plus the cost of 1 car, plus the cost of 1 car, plus the cost of 1 car. Expressed formally in terms of the isomorphic property for addition, this is f(1+1+1+1) = f(1)+f(1)+f(1)+f(1), and in terms of the isomorphic property for multiplication, f(4・1)=4・f(1). Procedure d is meaningless in terms of cars and costs. Twenty dollars cannot be 5 cars + 5 cars + 5 cars + 5 cars. Young students apparently are aware of this and never user procedure d. So there is a strong asymmetry between procedures b and c. They are not conceptually the same, although because of the commutativity of multiplication they may be mathematically equivalent.

(同型性は,4つの手続きaからdまでをまとめて検討することで,より容易に示される.手続きbは,手続きaと意味をもってつながっている.4台の値段とは,1台の値段+1台の値段+1台の値段+1台の値段である.加法における同型性を,式で表すと,f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)であり,乗法における同型性によって,f(4・1)=4・f(1)となる.手続きdは,車の数と価格の観点から,無意味である.20ドルは,5台の車+5台の車+5台の車+5台の車にはなり得ない.幼い生徒たちはどうやらそのことに気づいているらしく,決して手続きdを使わない.そのため,手続きbとcの間には強い非対称性がある.それらは,乗法の交換法則によって数学的には等しいかもしれないが,概念的には同一ではない.)

(p.146)

日本の算数だとどうか…a)とb)が正解とされるのは,都算研の出題から予想できます.d)は,解答類型にも出て来ない,子どもの発想にない式です.都算研の出題で,もし「3+3+3+3」と書いたなら,「それだと,3人と3人と3人と3人で,12人になっちゃうね」と言えばよさそうです.

c)の立式が正解・不正解になる状況を探ってみます.まず低学年では不正解とされます.先生方の授業・テストなどを通した観察により,「第2学年や第3学年では、読み取った数を、「1つ分の数×いくつ分=全体の数」と表現できることが重要であり、逆に、この立式ができているかで、数の読み取りができているかを判断できる」(『小学校指導法 算数 (教科指導法シリーズ)pp.91-92)が確立されています.

c)の考え方が,小学校で認められるのは,小学校高学年,ただし比例の式y=k×xを学習する前までと思うのがよさそうです.高学年では□=△×4のような,「2つの数量の関係を式で表すこと」を学習します.比の話で,2×30gにて2通りの表の見方を示しましたが,これは比に限定することなく,比例関係がある対象において成り立ちます.

比例の式を学習したら,「1個(あたり)5ドル」は比例定数となり,「×5」ではなく「5×x」と書くよう指導されます.

5. おもちゃの車とトランプ配り

上記のc)では,「4×5」(原文では「5・4」)と表したときの「×5」に「1個5ドル」という解釈が含まれています.パー書きの単位をつけて表すと,

  • Vc) 4個×5ドル/個=20ドル

です.

遠山の問題,

6人のこどもに,1人4こずつみかんをあたえたい.みかんはいくつあればよいでしょうか

に当てはめると,

  • Vo) 6人×4個/人=24個

となります.

この式の構文について,外部情報を2つ,示しておきます.一つは外部といってもサブアカの日記でして,かける数が1あたりにて整理しています.もう一つは『数とは何か?―1、2、3から無限まで、数を考える13章 (BERET SCIENCE)』p.46でして,「どのお皿にもミカンが3個のっています。お皿は全部で4皿あります。ミカンを集めて大きな袋に入れると、全部でいくつになるか?」という問題に対し,「4皿×3個/皿=12個と考えるのは自然な発想なのである」と述べています.この本は,後日また取り上げます.

それに対し,トランプ配りでは,

  • Do) 6個/回×4回=24個

となります(『数の現象学 (ちくま学芸文庫)』p.69).おもちゃの車の問題は,

  • Dc) 4ドル/回×5回=20ドル

としてみましょう.ここで「1回」とは,4個のおもちゃの車それぞれの前に,1ドル紙幣を置くこととします.

パー書きを用いた場合,みかんの問題,車の問題で,期待される式も,書いておきます.

  • Ao) 4個/人×6人=24個
  • Ac) 5ドル/個×4個=20ドル

(文字の意味は次のとおり:A:AMI数学教育協議会), D:dealing-out(トランプ配り), V:Vergnaud's, c:car, o:orange

Ao)とAc)を既知とし,式を見比べると,2つの手続きの違いを確認することができます.まず,Vergnaudの与えたc)では,Vo)とAo),Vc)とAc)を比較すれば分かるように,かけられる数・かける数の位置だけが異なります.その上で,「1あたり量」が乗数となるような解釈(乗法的構造の一つで,累加とは異なるもの)を示すことによって,その式が説明されます.

トランプ配りの式では,Do)とAo),Dc)とAc)との比較になります.かけられる数とかける数の両方の単位を,問題として与えられたものから,変換しています.その変換は,「トランプを配るときのやり方」に象徴される操作によるものです.

そのもとで,「1あたり量×いくら分=全体量」に当てはめて,式を得ることができる,という次第です.

これらは(そもそも本記事は)大人の議論であり,こういった解釈をどこまで認めてよいか,また日本の小学校の算数で受け入れられるかについて,私は答えを述べる位置にはいません.ともあれ,

  • 「算数」にない考え方が必要そう
  • 式に単位を添えて書くことのメリット・デメリットはどのように議論されてきたのだろうか

といった問題意識が出てきまして,まだまだ先かなと思っています.

6. 英文の味わい

英語の解説書を好んで読み,ブログで取り上げているのには,いくつか理由があります.

まずは単純に,学習欲・知識欲です.海外ではそして歴史的には,どのような検討がなされてきたのかを知り,日本のいまの(そしてこれからの)算数・数学は,どうなっている(いく)のだろうかというのを,イメージしていきたい,というわけです.

次に,読み手への配慮がしっかりなされた文章である点を,指摘しておきたいと思います.一例を挙げると,Vergnaudの分析には,「正解」「間違い」といった表現は出てきません.記述の内容をどのように取り入れ,算数や世の中への見方を充実させればよいかは,読み手に委ねられているというわけです.

それから,自分は職業として(常時ではないにせよ)英文を読み書き,聞き話ししないといけないので,英語力を,なじみのあるコンテンツから仕入れることができるという点も,一つの動機となっています.本日引用した中では,「may」のつく位置が,これまで読んで当ブログで取り上げてきたのと,また異なる位置にあり,小さな感動を覚えました.

必ずしも和訳できない,英文の味わいには,助動詞の使い方と,名詞の単複があるように思います.Vergnaud (1983),Vergnaud (1988)とも,タイトルは「Multiplicative Structures」であり,もしこれが単数の「Multiplicative Structure」であれば,「かけ算の構造とはこれだ!」と言っているようなものです.「s」がつかなくなっただけで,多様性や寛容性が激減してしまうように感じるのです.

さまざまな「構造」について,かけ算の問題の構造と題して整理を試みたことがあるので,関心のある方はどうぞ.

7. トランプ配り封じ一覧

以下は自分用のメモであり未整理です.内外の情報にリンクをしていきたいと考えています.

  • 出題で,トランプ配りをさせないようにする.
  • トランプ配りの適用が非現実的であることを確かめる.
  • 別の解釈ができることを示す.
  • トランプ配りは別のところ(等分除)で使うと伝える.

(最終更新:2013-02-21 深夜

*1:1名だけが「小学校長」,他は「小学校」で終わっています.

*2:そこでは「トランプ配りは不明」と書きましたが,一つずつ数えたり,まとめて数えたりしていく限り,トランプ配りの出てくる余地はなさそうです.それらの調査・分析の方法が間違いだとおっしゃる方には,きちっと調査をして取りまとめ,公表することを,要望します.話は,学術的批評に耐えるエビデンスが上がってからです.

*3:「アレイ」をかけ算の意味に使っている日本の算数のクラスは,たぶんないと思うので,除外しています.そのあたりに関心のある人はSMSGで調べるか,当ブログからだとかけ算の式と言葉の順序 メモをご覧ください.

*4:「かけ算に順序があるというなら,長方形の面積は縦×横か? 横×縦じゃダメなのか?」という周回遅れな方向けにも,長方形の面積問題が5番目に入っています.式は「m) 4・5=20」「n) 5・4=20」です.b),c)と比較してこの場合には対称性があるよなあ,product of measuresであってsimple proportionとは別物だよなあ,と記されています.

*5:「cost (4 cars) = 4・cost (1 car)」という式もp.145に見られます.このうちcostが線形関数です.

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